章末检测卷1 数列（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(一)　数列 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－n＋1　　B．an＝ C．an＝ D．an＝n2＋1 解析：选C　令n＝1，2，3，4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C. 2．在等比数列{an}中，a1＋a3 ＝1，a5＋a7＋a9＋a11＝20，则a1＝ (　　) A． B． C．2 D．4 解析：选B　由a5＋a7＝(a1＋a3)·q4＝q4，a9＋a11＝(a1＋a3 )q8＝q8，得q8＋q4＝20，所以q4＝4或q4＝－5(舍)，即q2＝2或q2＝－2(舍).因为a1＋a3＝a1＋a1q2＝3a1＝1，所以a1＝，故选B. 3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5＝(　　) A．32 B．62 C．27 D．81 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q(q>0). ∵a2，a4 ＋2，a5成等差数列， ∴a2＋a5＝2(a4＋2)，∴2q＋2q4＝2(2q3＋2)， 解得q＝2，∴S5＝＝62.故选B. 4．已知数列{an}满足a1＝1，an>0，a－a＝1(n∈N＋)，那么使an<5成立的n的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 解析：选C　由题意a－a＝1， ∴数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a＝1＋(n－1)×1＝n. 又an>0，∴an＝. 由an<5，得<5，∴0<n<25. 那么使an<5成立的n的最大值为24，故选C. 5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3 ＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝ (　　) A．66 B．55 C．44 D．33 解析：选D　由已知得2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝6a3＋6a9＝36，所以a3＋a9＝6，所以S11＝＝＝＝33，故选D. 6．数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝ ＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前n项和Sn＝(　　) A．(4n-1－1) B．(4n－1) C．(4n-1－1) D．(4n－1) 解析：选D　数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋， 则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列， 故an＝2n－1，bn＝2n-1，则ban＝22n-2＝4n-1， 所以Sn＝1＋4＋…＋4n-1＝＝(4n－1)，故选D. 7． 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为(　　) A．4 072 B．2 026 C．4 096 D．2 048 解析：选A　由题意可知，每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn＝＝2n－1，若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn＝，可得当n＝10时，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212－1，则此数列前55项的和为S12－23＝4 072. 8．若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1，3) B．[－1，3] C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：选D　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得＝n， 所以Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 所以＝ ＝， 所以Tn＝ ＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立， 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝0，a5＝10，则 (　　) A. Sn ＝2n2－8n B．an＝2n－5 C．an＝4n－10 D．Sn＝n2－2n 解析：选AC　设等差数列{an}的公差为d， 由题意得 解得 所以an＝4n－10，Sn＝2n2－8n，故选A、C. 10．已知等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则 (　　) A．数列是等差数列 B．数列是递减数列 C．数列{log2 an}是等差数列 D．数列{log2 an}是递减数列 解析：选BC　由已知得an＝2n-1. 对于A，＝，＝1，＝＝， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，不是等差数列，故A不正确； 对于B，由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故B正确； 对于C，log2an＝n－1，log2an＋1－log2an＝n－(n－1)＝1， 所以{log2an}是等差数列，故C正确； 对于D，由C可知，数列{log2an}是公差为1的等差数列， 所以是递增数列，故D不正确，故选B，C. 11．已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝S11，则(　　) A．a10>0 B．当n＝9时，Sn最大 C．S17>0 D．S19>0 解析：选BC　由等差数列前n项和的特点可知，当n＝9时，Sn最大，故a9>0，a10<0，S17＝17a9>0，S19＝19a10<0，故BC正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知等差数列{an}的前13项之和为，则tan (a6＋a7＋a8)＝________． 解析：∵等差数列{an}的前13项之和为＝13a7， ∴a7＝， 则tan (a6＋a7＋a8)＝tan 3a7＝tan ＝－1. 答案：－1 13．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫作传播指数RO.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间(单位：天).根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为__________． 解析：由题意知，RO＝1＋40%×5＝3，所以得病总人数为3＋32＋33＋34＝120(人). 答案：120 14．数列{an}满足递推式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，且a1＝5，则使得为等差数列的实数λ＝________． 解析：因为－＝＝(n≥2)， 若为等差数列，则为常数． 所以－1－2λ＝0，所以λ＝－. 答案：－ 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由题意知 解得 则an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得a1＝2，an＝2n， 则Sn＝＝n(n＋1). 又a1，ak，Sk＋2成等比数列， 所以(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)， 解得k＝6或k＝－1(舍)，故正整数k的值为6. 16．(15分)在①b4＝a3＋a5；②b4＋b6＝3a3＋3a5；③a2＋a3＝b4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由． 已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且________，设cn＝，是否存在k，使得对任意的n∈N＋，都有ck≤cn? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>0)， 因为{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2， 所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去). 所以bn＝2n-1. 若存在k，使得对任意的n∈N＋，都有ck≤cn， 则cn存在最小值． 若选①，则由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5， 可得得d＝1，a1＝1， 所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝. 因为n∈N＋，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值， 即不存在满足题意的k. 若选②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5， 可得得d＝－1，a1＝， 所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝. 因为当n≤20时，cn>0，当n≥21时，cn<0， 所以易知cn的最小值为c21＝－. 即存在k＝21，使得对任意的n∈N＋，都有ck≤cn. 若选③，则由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4， 可得得d＝，a1＝， 所以Sn＝，cn＝＝. 因为2n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值， 即不存在满足题意的k. 17．(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，S4＝40.数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N＋. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝求数列{cn}的前2n＋1项和P2n＋1. 解：(1)由题意知， 解得 ∴an＝4n.∵Tn－2bn＋3＝0， ∴当n＝1时，b1＝3， 当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0， 两式相减，得bn＝2bn－1(n≥2)， 故数列{bn}为等比数列，且bn＝3·2n-1. (2)由(1)知cn＝ ∴P2n＋1＝(a1＋a3＋…＋a2n＋1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝＋ ＝22n+1＋4n2＋8n＋2. 18．(17分)已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋2＝3log an(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn. (1)求数列{cn}的前n项和Sn； (2)若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意知，an＝(n∈N＋)， 所以bn＝3logan－2＝ 3log－2 ＝3n－2(n∈N＋). 故cn＝(3n－2)×(n∈N＋). 所以Sn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×， 于是Sn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×， 两式相减得 Sn＝＋3－(3n－2)×＝－(3n＋2)×. 所以Sn＝－× ＝－×(n∈N＋). (2)因为cn＋1－cn＝(3n＋1)·－(3n－2)·＝9(1－n)·(n∈N＋). 所以当n＝1时，c2＝c1＝， 当n≥2时，cn＋1<cn，即c1＝c2>c3>c4>…>cn， 所以cn的最大值是. 又cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立， 所以m2＋m－1≥， 即m2＋4m－5≥0，得m≥1或m≤－5. 所以实数m的取值范围是(－∞，－5]∪[1，＋∞). 19．(17分)设数列{an} 的前n 项和为Sn .若≤≤2(n∈N，n≥1)，则称{an} 是“紧密数列”． (1)已知数列{an}是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x 的取值范围； (2)若数列{an}的前n 项和为Sn＝(n2＋3n)，判断{an}是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列{an}是公比为q 的等比数列．若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q 的取值范围． 解：(1)若数列{an} 为“紧密数列”， 则x≠0，且 解得≤x≤， 即x 的取值范围为. (2)数列{an}为“紧密数列”．理由如下： 数列{an}的前项和Sn＝(n2＋3n)(n∈N*)， 当n＝1 时，a1＝S1＝×(1＋3)＝1; 当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝n＋， 又＋＝1＝a1，即a1＝1 满足an＝n＋， 因此an＝n＋ (n∈N*)， 所以对任意n∈N*，＝＝＝1＋， 所以<＝1＋<2， 因此数列{an}为“紧密数列”． (3)因为数列{an}是公比为q 的等比数列，前n 项和为Tn， 当q＝1 时，有an＝a1，Sn＝na1， 所以≤＝1≤2，≤＝＝1＋≤2，满足题意； 当q≠1 时，an＝a1qn-1，Sn＝. 因为{an}为“紧密数列”， 所以≤＝q≤2， 即≤q<1 或1<q≤2. 当≤q<1 时， ＝>＝1， ＝<＝＝1＋qn<2， 所以≤＝≤2，满足{Sn} 为“紧密数列”； 当1<q≤2 时，＝＝1＋q>2，不满足{Sn} 为“紧密数列”． 综上，实数q 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$