课时作业1 数列的概念（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(一)　数列的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选)下列叙述不正确的是(　　) A．同一个数在数列中可能重复出现 B．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数 C．任何数列的通项公式都存在 D．数列的通项公式是唯一的 解析：选BCD　数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n+2，选项D错误． 2．数列－，，－，，……的一个通项公式是(　　) A．－ B． C． D． 解析：选B　所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为(－1)n，故此数列的一个通项公式是. 3．已知数列的通项公式是an＝则a2·a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 解析：选C　因为an＝ 所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10， 所以a2·a3＝20. 4．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于(　　) A． B．cos C．cos π D．cos π 解析：选D　令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确． 5．已知数列，3，，…，，那么9是数列的第________项． 解析：令＝9，解得n＝14. 由此可知9是此数列的第14项． 答案：14 6．已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝________． 解析：a3＝2-3＝，a4＝＝， ∴＝，∴a3＋＝. 答案： 7．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－，，－，； (2)，，，； (3)7，77，777，7 777. 解：(1)这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999， 即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)， 即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)， ×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋. 8．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2020； (3)2023是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？ 解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则有 解得k＝4，b＝－1.所以an＝4n－1. (2)a2020＝4×2020－1＝8079. (3)令2023＝4n－1，解得n＝506∈N＋， 所以2023是数列{an}的第506项． [能力提升练] 9．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A． B．5 C．6 D． 解析：选B　a1·a2·a3·…·a30 ＝log2 3×log3 4×log4 5×…×log31 32＝××…×＝＝log2 32＝log2 25＝5. 10．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　) A．6n个 B．(4n＋2)个 C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个 解析：选D　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键． 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝－，n∈N＋，则a2023＝________． 解析：根据题干表达式得，a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，a6＝－＝－2，a7＝－＝1，…，所以数列具有周期性，周期为3，又2023＝3×674＋1，故a2023＝1. 答案：1 12．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝______，＝________． 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为an＝3－2n， 所以a2n＝3－22n＝3－4n； ＝＝. 答案：3－4n　 13．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内． 解： 设an＝ ＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明：因为an＝＝＝1－， 又n∈N＋，所以0<<1. 所以0<an<1.即数列中的各项都在区间(0，1)内． [素养拓展练] 14．数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋. (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)令an＝＝0，解得n＝21，n＝0(舍)， 所以0是{an}中的第21项， 令an＝＝1，解得n＝∉N＋， 所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等， 则am＝am＋1， 即＝， 解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续的两项，第10项与第11项相等． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$