第2章 3 导数的计算（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§3　导数的计算 学习目标 素养要求 1.理解导函数的定义，会利用导数的定义求常见函数的导数． 2．掌握导数公式表，并能进行简单的应用． 1.通过学习导函数的定义，培养数学抽象的核心素养． 2．借助导数公式的应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　导函数 [问题 1]　对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′，f′(a)(a∈R)? 答：＝＝－2x0－Δx， 当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝－2x0， ∴f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1，f′(a)＝－2a. [问题 2]　若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？ 答：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数． ►知识填空 导函数 如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝lim_，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′． [点睛]f′(x0)与f′(x)的异同 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值． f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值． 知识点二　导数公式 [问题]　下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1-1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2-1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3-1； f(x)＝＝x-1⇒f′(x)＝－x-2＝－x-1-1； f(x)＝＝x⇒f′(x)＝x－＝x-1 . 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 答：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα-1. ►知识填空 基本初等函数的导数 汈汈汈汈汈 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是常数) y′＝αxα-1 y＝ax (a＞0，a≠1) y′＝ax_ln_α 特别地(ex)′＝ex y＝logax (a＞0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin_x y＝tan x y′＝ [点睛] (1)函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的导数公式之间有内在联系，根据对数的换底公式，可以得到f(x)＝logax＝，于是f′(x)＝(logax)′＝′＝·(ln x)′＝，据此我们一方面可以推导出对数函数的导数公式，还可以帮助我们对这个导数公式的记忆． (2)由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题．一般地对于函数f(x)＝，有f(x)＝＝x，从而f′(x)＝(x)′＝·x-1. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (3)f(x)＝，则f′(x)＝－. (　　) (4)f(x)＝ln ex，则f′(x)＝.(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 答案：C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 答案：C 4．已知f(x)＝cos x，则f′＝__________． 答案：－ 题型一　利用导数公式求函数的导数 [例 1]　(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x. 解：(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝′＝(x-4)′＝－4x-5＝－； (3) y′＝()′＝(x)′＝x－； (4)y′＝(3x)′＝3x ln 3； (5)y′＝(log5x)′＝. (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． (3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别．　　 　求下列函数的导数： (1)y＝lg 4； (2)y＝2x； (3)y＝； (4)y＝2cos2－1. 解：(1)y′＝(lg 4)′＝0； (2)y′＝(2x)′＝2x ln 2； (3)∵y＝＝x 2－＝x， ∴y′＝(x)′＝x； (4)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x． 题型二　导数公式的简单应用 [例 2]　已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 解：因为y′＝， 所以当x＝e时，y′＝， 即切线斜率为，所以切线方程为 y－1＝(x－e)， 即x－ey＝0. 求曲线方程或切线方程的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．　　 1．(变结论)若本例条件不变，求曲线过O(0，0)的切线． 解：因为O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)， 则切线斜率k＝， 又因为k＝，且b＝ln a， 所以a＝e，b＝1， 所以切线方程为x－ey＝0. 2．求曲线y＝cos x在点P处的切线方程． 解：因y′＝(cos x)′＝－sin x， 则曲线在点P处的切线的斜率为 k＝y′|x＝＝－ sin ＝－. 因此，所求切线方程为 y－＝－， 即x＋2y－1－π＝0. 题型三　导数几何意义及公式的综合应用 [例 3]　求证：在双曲线y＝上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． 解：设P(x0，y0)为y＝上任意一点，则y0＝(x0≠0).又y′＝′＝－， ∴双曲线在P处的切线斜率 k＝y′|x＝x0＝－， 切线方程为：y－ ＝－(x－x0). 令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝2x0. 所以切线与x轴，y轴的交点分别为(2x0，0)，. 因此，所求三角形的面积为 S＝| 2x0|·＝2(常数). ∴在双曲线y＝上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． 要求面积，须求出切线与x轴、y轴的交点坐标，因此解决问题的切入点是切点P(x0，y0)的设定，然后利用参数x0表达出切线方程及三角形面积，消去参数x0，说明面积与参数x0无关．　　 　曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________． 解析：由y＝x3可得y′＝3x2， 所以曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为k＝3a2， 切线方程为y－a3＝3a2 (x－a)， 切线与x轴的交点为. 所以三角形的面积为 ·|a3|＝， 解得a＝±1. 答案：±1 [课堂小结] 1．利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$