3 导数的计算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

83 导数的计算 即4x+y-4=0. 必备知识·探新知 (2)函数y=lnx的定义域为(0,+x). 知识点1 #_) △x 设切点坐标P(e,y),则y。=lne=1,所以切点为P(e.1). 想一想: 不正确.由导数定义可知f(x)=e*+C(其中C为任意实 过程为y-1-I(x-e).即:--y=0. 数),都有/'(x)=e. 练一练: 1.C 因为/(x)=x”,所以f'(x)=2x, 对点训练2:(1)y=xln3+1f(x)=3..f'(x)= 3ln3. 所以f(3)=6. .f'(0)=ln3. 2.①②③④ 对于①f(x)=x}f'(x)=2x,由x=2x,解 得x=0或x=2,因此此函数有“巧值点”; .所求切线方程为y=xn3+1. 对于②/(x)=e f(x)=e’.由e'=e’,得xER,因此此函 (2)C.y'=3r. 点(2.8)处的切线斜率k=f'(2)=12. 数有“巧值点”; .切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16. ' k=12,b=-16k-b=28. 出图象y=lnxy-(x0),由图象可知. 两函数图象有交点,因此此函数有“巧值 设切点为(xn,yo),则/(x。)--1.:-1--1. 点”; # .x=1或-1. 4.切点坐标为(1.1)或(-1,-1). 例3.(1)D:/'(x)=+2x6. 因此此函数有“巧值点”。 知识点2 1 o o*Ia'lna 当且仅当5=1时取等号,因此切线斜率的最小值是2.选D cosx -sinx xna cos{ (2)如图,设/是与直线y=x平行, 练一练: 且与曲线y=e'相切的直线,则切点到直 1.(1)x(2)x(3)(4) 线y=x的距离最小. 2.A 先利用诱导公式化简,再根据求导公式求导. 设直线/与曲线y=e’相切于点 关键能力·攻重难 iP(xo,%). 例1:(1)①-()-(y-4- 因为y'=e’,所以e^{*=1,所以x。 =0. ②y-y-()-4-. 代入y=e',得y。=1.所以P(0,1). ③'=(3)'=3ln3. 对点训练3: 2 设切点坐标为(x。,%). (2)①y'=0. 由题意得/'(t。)-1=k.又y。=kr。,而且y。=lnx,从而 ②=()1n--()n2. 例4:易知P点在曲线y=x上,当P点为切点时,由上面解 对点训练1:(1)D/(x)=a(a>0.a1)是常数函数. 法知切线方程为12x--16=0. 所以f'(x)=0.所以f'(2)=0. 当P点不是切点时,设切点为A(t,y).由定义可求得切 (2)C 因为/'(x)=10'ln10. 线的斜率为k=3x. 所以f(1)=10n10 .A在曲线上%. -8 ②A为y} '.-3x+4=0.(x+1)(x-2)=0x=-1或x =2(舍去). 所以y-(n)- '.y。=-1,k=3.此时切线方程y+1=3(x+1).即3x-y+ 12=0. 故经过点P的曲线的切线有两条,方程分别为12x-¥-16 =0和3x-y+2=0. -()- 过1.D {(x)_)()- 课堂检测·固双基 .切线的斜率k=-4. .切线方程为y-2--4(x-). 2.D曲线y=e'在点(2.e)处的切线方程为y=e{x-e,所以 该切线与坐标轴交点坐标分别为(1.0).(0,-e). -142- 所以,所围三角形的面积为士x1xe- 3.C 由y=e-x.得y=e-1,设切点为(x,e-x),则$ (3)y'-(e)(x+1)-(x+1) y'1...=eo-1. (x+1)) .切线方程为y-e”+x。=(e-1)(x-x。). -(x+1)-.xe (x41)- .切线过点(e.-e). (x1) .(e+1)e*=xe*o,解得x。=e+1. 例2:(1)·f(x)=+ax+b的导数r'(x)=3}+a. ·切线方程为y-e**+e+l=(e*-1)(x-e-1),整理得 由题意可得/'(2)=12+a=13.(2)=8+2+b=-6. y=(e"-1)x-e 解得a=1.b=-16. 4.3^1 (2) 切线与直线y--4+3垂直, xn3 :.切线的斜率k-4. /'(x)-g'(x)=31 xhn3 设切点的坐标为(x,y),则/(x)=3+1=4 84 导数的四则运算法则 .x=+1. 由$/(x)=+$-16可得y=1+1-16=-14,或y =-1- 4.1 导数的加法与减法法则 -16=-18.即切点坐标为(1.-14)或(-1.-18). 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18 4.2 导数的乘法与除法法则 即y=4-18或y=4-14. 必备知识·探新知 知识点 又::f(1)=a. f(x)g(x)-f(x)g(x) f'(x)+g(x)f'(x)-g(x) &.切线/的斜率为a-1.且过点(1.a). g(x) 想一想: .切线/的方程为y-a=(a-1)(x-1). 令x=0.得y=1.故/在y轴上的截距为1 两个函数的导数存在,则它们的和、差、积、商(商分母不为 零)必存在;若两个函数的导数不存在,则它们的和、差、积、商不 例3:={ 一定不存在. 练一练: -(3#--) 1.B 求导得/'(x)---2/'(1)x+2, -(3)-(x)'+(5)'-(9)) 所以f'(1)=1-2f'(1)+2.解得f'(1)=1 则/fx)=lnx-x+2x-1. 所以/(1)=ln1-1+2-1=0. 9-1. $.Df(x)=(+1)(x-1) =x+x-x-1jf'() =3} =22x1 +2-1.f(1)=3+2-1=4. 3.B f(x)=(2m)=4. 课堂检测·固双基 所以f'(x)=8nxf'$-1)=8nx(-1)=-8. 1. A /(x)-(x)-()-1- 关键能力·攻重难 例1:(1)方法一:可以先展开后再求导: 2.D函数的导数为f'(x)=1+e’,故选D. =2-1)(3x+1)=6+2x-3x-1 3.D由已知得/'(x)=e'cosx-e'sinx '.y'=(6r+2-3x-1)'=18r+4-3. =e'(cos x-sinx). 方法二:可以利用乘法的求导法则进行求导: :.f'(1)=e(cos 1-sin1). '=(2}-1)'(3x+1)+(2x-1)(3x+1)'=4x(3x+1 >1, +3(2-1=12+4x+6 -3=18+4-3.$ (2)把函数的解析式整理变形可得: 面由正、余弦函数性质可得cos1<sin1. 2 .f'(1)<0.即/(x)在(1f(1))处的切线的斜率k<0.&.切 线倾斜角是钝角. .2(+x+1)-2x(2+1)2-2 4.(e.e)设P(x,y%),则y=xlnx在x=x。处的导数为lnx。+ (+x+1) (+x+1) 1=2,所以x。=e,则y。=e.则P点坐标为(e,e). (3)根据求导法则进行求导可得: s5 简单复合函数的求导法则 '=(3'e')'-(2)'=(3)'e+3(e)'-(2')'=3'ln3· e+3-2ln2 必备知识·探新知 =(3e)ln(3e)-2ln2. 知识点1 (4)利用除法的求导法则,进行求导可得: y=f(u)u=(x)y=f(q(x)) -(ln)(1)-n(1) 想一想: (+1)* 由内函数u=(x)的值域包含于外函数y=/(n)的定义域 1(1)-hnx.2x 所求得的x的取值集合就是复合函数y=/f((x))的定义域 (1-2lnx)+1 练一练: ( 1)2 x(x+1) (1)×(2)x(3)×(4)V 对点训练1:(1):y=(+1)(-1)=-+x-1. 知识点2 .y'=3-2x+1. [f(g(x))]'f'(u)'(x),其中u=(x) -143-# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ｌｉｍ Δｘ０ １ ２ ＋ Δｘ － １２ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ０ －１ ２（２ ＋Δｘ）＝ － １ ４，从而得切线 方程为ｙ －０ ＝ － １４（ｘ －２），即ｘ ＋４ｙ －２ ＝０． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 错解中没有注意到点（２，０）根本 不在曲线ｙ ＝ １ｘ上，直接求出函数在ｘ ＝ ２处的导 数作为曲线切线的斜率，而导致错误．避免这种 错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点 在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才 等于函数在该点处的导数值，如果点不在曲线 上，应先另设切点，再利用导数的几何意义 求解                 ． 6789%:;< １．已知ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图，则 ｆ ′（ｘＡ）与ｆ ′（ｘＢ）的大小关系 是 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（ｘＡ）＞ ｆ ′（ｘＢ） Ｂ． ｆ ′（ｘＡ）＜ ｆ ′（ｘＢ） Ｃ． ｆ ′（ｘＡ）＝ ｆ ′（ｘＢ） Ｄ．不能确定 ２．抛物线ｙ ＝ １４ ｘ ２在点Ｑ（２，１）处的切线方程为 （Ａ ） Ａ． ｘ － ｙ － １ ＝ ０ Ｂ． ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０ Ｃ． ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０ Ｄ． ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ ３．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数为１， 则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） ２Δｘ ＝ （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １２ Ｃ． １ Ｄ． ２ ４． ｙ ＝ ａｘ２ ＋ １的图象与直线ｙ ＝ ｘ相切，则ａ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                     ］ § ３　 导数的计算 !"#$%&'( 学习目标 １．能根据定义求函数ｙ ＝ ｃ，ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，ｙ ＝ １ｘ，ｙ ＝槡ｘ的导数． ２．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 核心素养 通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学运算素养． !&! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 导函数的概念 　 　 一般地，如果一个函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ， ｂ）的每一点ｘ处都有导数ｆ ′（ｘ）＝ 　 　 　 　 　 ． 那么ｆ ′（ｘ）是关于ｘ的函数，称ｆ ′（ｘ）为ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数，也简称为导数，有时也将导数 记作ｙ′． 想一想： 若ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ，则ｆ（ｘ）＝ ｅｘ 这种说法正 确吗？ 练一练： １．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２，则ｆ ′（３）等于 （Ｃ ） Ａ． ０ Ｂ． ２ｘ Ｃ． ６ Ｄ． ９ ２．已知函数ｆ（ｘ）及其导数ｆ ′（ｘ），若存在 ｘ０，使得ｆ（ｘ０）＝ ｆ ′（ｘ０），则称ｘ０ 是ｆ（ｘ）的一个 “巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是①② ③④　 ．（填序号） ①ｆ（ｘ）＝ ｘ２ 　 ②ｆ（ｘ）＝ ｅｘ 　 ③ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ④ｆ（ｘ）＝ １ｘ 导数公式 函数 导数 ｙ ＝ ｃ（ｃ是常数） ｙ ′ ＝ ０　 　 ｙ ＝ ｘα（α是实数） ｙ ′ ＝ αｘα － １　 ｙ ＝ ａｘ（ａ ＞ ０，ａ≠１） ｙ ′ ＝ ａｘ ｌｎ ａ　 特别地（ｅｘ）′ ＝ ｅｘ ｙ ＝ ｌｏｇａｘ（ａ ＞ ０，ａ≠１） ｙ ′ ＝ 　 　 　 特别地（ｌｎ ｘ）′ ＝ １ｘ ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ ′ ＝ ｃｏｓ ｘ　 ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ｙ ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ　 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ ｙ ′ ＝ 　 　 　 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）ｓｉｎ π( )３ ′ ＝ ｃｏｓ π３ ． （ × ） （２）（ｃｏｓ ｘ）′ ＝ ｓｉｎ ｘ． （ × ） （３） １( )ｘ ′ ＝ － １ｘ２ ． （√ ） （４）（ｘ２ ０２３）′ ＝ ２ ０２３ｘ２ ０２２ ． （√ ） ２．下列各式中，正确的是 （Ａ ） Ａ． ｃｏｓ π２ －( )[ ]ｘ ′ ＝ ｃｏｓ ｘ Ｂ． ｓｉｎ π２ －( )[ ]ｘ ′ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｃ． ｃｏｓ π２ －( )[ ]ｘ ′ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｄ． ｓｉｎ π２ －( )[ ]ｘ ′ ＝ ｃｏｓ                                                  ｘ /012%345 题型探究 题型一 公式法求导数 １．（１）求下列函数的导数： ①ｙ ＝ １ ｘ４ ；②ｙ ＝ ｘ·３槡ｘ；③ｙ ＝ ３ｘ；④ｙ ＝ ｌｏｇ５ｘ． （２）求下列函数的导数：①ｙ ＝ ｓｉｎ π３；②ｙ ＝ １( )２ ｘ ；③ｙ ＝ １ 槡ｘ ． 　 　 ［尝试作答                 ］ !&" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : #      　 　 ［规律方法］　 运用基本初等函数的导数公 式求导的注意事项 （１）对于简单的函数，直接套用公式． （２）对于较为复杂，不能直接套用公式的， 可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再 求导． 对点训练? （１）ｆ（ｘ）＝ ａ３（ａ ＞ ０，ａ≠ １），则ｆ ′（２）＝ （Ｄ ） Ａ． ８ Ｂ． １２ Ｃ． ８ｌｎ ３ Ｄ． ０ （２）若函数ｆ（ｘ）＝ １０ｘ，则ｆ ′（１）等于 （Ｃ ） Ａ． １１０ Ｂ． １０ Ｃ． １０ｌｎ １０ Ｄ． １１０ｌｎ １０ （３）求下列函数的导数： ①ｙ ＝ ｌｏｇ８ｘ；②ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ ｃｏｓ ｘ ２ ． 题型二 利用导数公式求切线方程 ２．（１）函数ｙ ＝ １ｘ在点 １ ２，( )２ 处的切线方程 是 （Ｂ ） Ａ． ｙ ＝ ４ｘ Ｂ． ｙ ＝ － ４ｘ ＋ ４ Ｃ． ｙ ＝ ４ｘ ＋ ４ Ｄ． ｙ ＝ ２ｘ － ４ （２）求曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘ在ｘ ＝ ｅ处的切线方程． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 解决切线问题的步骤 （１）求函数ｆ（ｘ）的定义域； （２）公式法求导函数ｆ ′（ｘ）； （３）设切点坐标Ｐ（ｘ０，ｙ０）； （４）列方程（组）： ①切点在曲线上，即ｙ０ ＝ ｆ（ｘ０）； ②切线斜率等于函数在切点处的导数，即ｋ ＝ ｆ ′（ｘ０）； ③切点在切线上，即切线为ｙ － ｙ０ ＝ ｋ（ｘ － ｘ０）． （５）解方程（组）． 对点训练? （１）曲线ｆ（ｘ）＝ ３ｘ 在点 （０，１）处的切线方程是ｙ ＝ ｘｌｎ ３ ＋ １　 ． （２）已知曲线ｙ ＝ ｘ３在点（２，８）处的切线方 程为ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ，则ｋ － ｂ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． － ４ Ｃ． ２８ Ｄ． － ２８ （３）若曲线ｆ（ｘ）＝ １ｘ上某点处的切线的倾斜 角为３４ π，则该点的坐标为 （Ｄ ） Ａ．（１，１） Ｂ．（－ １，－ １） Ｃ．（－ １，１） Ｄ．（１，１）或（－１，－１） 题型三 与切线有关的问题 ３．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ ｘ２ － ｂｘ ＋ ａ（ｂ ＞ ０， ａ∈Ｒ）的图象在点（ｂ，ｆ（ｂ））处的切线斜率的最 小值是 （　 ） Ａ． ２槡２ Ｂ．槡３                                                                        Ｃ． １ Ｄ． ２ !&# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （２）设Ｐ是曲线ｙ ＝ ｅｘ上任意一点，求点Ｐ 到直线ｙ ＝ ｘ的最小距离． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 利用导数的几何意义解决切 线问题的两种情况 （１）若已知点是切点，则在该点处的切线斜 率就是该点处的导数． （２）若已知点不是切点，则应先设出切点， 再借助两点连线的斜率公式进行求解． 　 　 对点训练? 已知ｙ ＝ ｋｘ是曲线ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ的一条切线，则ｋ ＝ 　 　 　 　 ． 易错警示 　 　 不能正确理解切点的实质而致误 ４．经过点Ｐ（２，８）作曲线ｙ ＝ ｘ３的切线，求切线 方程． ［错解］　 设ｆ（ｘ）＝ ｘ３，由定义得ｆ ′（２）＝ １２，∴所求切线方程为ｙ － ８ ＝ １２（ｘ － ２）， 即１２ｘ － ｙ － １６ ＝ ０． ［误区警示］　 曲线过点Ｐ的切线与在点Ｐ 处的切线不同． 　 　 ［正解          ］ 　 　 ［点评］　 在求切线方程的过程中，关键是 寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其 中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点 Ｐ（２，８）不一定是切点，做题时要高度关注                                             ． 6789%:;< １．若ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ，则ｆ ′ π( )６ ＝ （Ｄ ） Ａ． － １２ Ｂ． － 槡３ ２ Ｃ． １２ Ｄ． 槡３ ２ ２．曲线ｙ ＝ ｅｘ在点（２，ｅ２）处的切线与坐标轴所 围三角形的面积为 （Ｄ ） Ａ． ９４ ｅ ２ Ｂ． ２ｅ２ Ｃ． ｅ２ Ｄ． ｅ ２ ２ ３．过点（ｅ，－ ｅ）作曲线ｙ ＝ ｅｘ － ｘ的切线，则切线 方程为 （　 ） Ａ． ｙ ＝（－ １ － ｅ）ｘ ＋ ｅ２ Ｂ． ｙ ＝（ｅ － １）ｘ － ｅ２ Ｃ． ｙ ＝（ｅｅ ＋１ － １）ｘ － ｅｅ ＋２ Ｄ． ｙ ＝（ｅｅ － １）ｘ － ｅｅ ＋１ ４．若ｆ（ｘ）＝ ｘ３，ｇ（ｘ）＝ ｌｏｇ３ｘ，则ｆ ′（ｘ）－ ｇ′（ｘ） ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                    ］ !&$