章末复习课1 数列（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

章末复习课 一、求数列的通项公式 求数列的通项公式是解决数列问题的核心内容，常见的求数列的通项公式的方法有以下几种： 角度1　观察法 [例 1]　以下数表的构造思想源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”． 1　2　3　4　…　2017　2018　2019　2020 　3　5　7　………　4035　4037　4039 8　12　……………　8072　8076 　20　…………………　16 148 ………………………… 该数表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　) A．2021×22019　　　　B．2021×22018 C．2020×22019 D．2020×22018 解析：选B　由题意知，数表中的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……第2019行公差为22018.第一行的第一个数为2×2-1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，……第n行的第一个数为(n＋1)×2n-2，易知第2020行只有一个数M，则M＝(1＋2020)×22018＝2021×22018. 角度2　公式法 [例 2]　已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________． 解析：由an＋1·an＝an＋1－an⇒1＝－⇒－＝－1. 所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列， 所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， 所以an＝－(n∈N＋). 答案：－(n∈N＋) 角度3　由Sn求an [例 3]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝________． 解析：依题意得， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1； 当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式， 因此an＝ 答案： 角度4　累加法 [例 4]　数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝(n≥2，n∈N＋)，则an＝________． 解析：由题意an－an－1＝，则当n≥2时， a2－a1＝，a3－a2＝，…，an－an－1＝， 这n－1个式子相加，就有an－a1＝＋＋…＋＝＝－， 即an＝－，当n＝1时，a1＝2也满足上式， 所以an＝－. 答案：－ 角度5　累乘法 [例 5]　数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，则an＝________． 解析：因为在数列{an}中，an＋1＝an， 所以＝，所以＝，＝，＝，…，＝，所以an＝a1····…·＝××××…×＝×＝. 答案： 1．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n-1an＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________． 解析：令Sn＝a1＋2a2 ＋22a3＋…＋2n-1an， 则Sn＝9－6n，当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，2n-1·an＝Sn－Sn－1＝－6， ∴an＝－. 当n＝1时不符合上式， ∴通项公式an＝ 答案：an＝ 2．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)∵Sn＝an，且a1＝1， ∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1，即＝， 于是＝3，＝，＝，…，＝， 以上n－1个式子的两端分别相乘， 得＝， ∴an＝，n≥2. 又a1＝1适合上式， 故an＝，n∈N＋. 二、等差、等比数列的判定 等差数列、等比数列的判断方法 定义法 an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 ＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项 公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列 a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列 通项 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项 和公式 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列 [例 6]　设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N＋，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N＋). (1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an， 即＝(n≥2，n∈N＋). 所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列， 故数列{an}的通项公式为an＝. (2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2. 因为bn＝，所以＝＋1， 即－＝1(n≥2). 所以数列是首项为，公差为1的等差数列． 所以＝＋(n－1)·1＝， 故数列{bn}的通项公式为bn＝. 3．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项an； (2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列． 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得解得 所以an＝12＋2(n－1)＝2n＋10， 所以数列{an}的通项an＝2n＋10. (2)证明：因为an＝2n＋10， 所以bn＝2an－10＝22n＝4n， 所以＝＝4. b1＝41＝4， 所以数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列． 三、数列求和及综合应用 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解． 一般常见的求和方法有： (1)公式法：直接利用等差或等比数列的前n项和公式． (2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列． (4)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和． (5)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论． [例 7]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2Sn－1(n∈N＋). (1)求证：数列{an}为等比数列； (2)若bn＝(2n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝2S1－1＝2a1－1，解得a1＝1； 当n≥2时，an＝2Sn－1，an－1＝2Sn－1－1， 两式相减得an－an－1＝2an，化简得an＝－an－1， 所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由(1)中得an＝(－1)n-1， 所以bn＝(2n＋1)·(－1)n-1. 法一：(并项求和法) 当n为偶数时，bn－1＋bn＝－2，Tn＝×(－2)＝－n； 当n为奇数时，n＋1为偶数， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝－(n＋1)－[－(2n＋3)]＝n＋2. 综上，数列{bn}的前n项和Tn＝ 法二：(错位相减法) Tn＝3×(－1)0＋5×(－1)1＋7×(－1)2＋…＋(2n＋1)·(－1)n-1， －Tn＝3×(－1)1＋5×(－1)2＋…＋(2n－1)·(－1)n-1＋(2n＋1)·(－1)n， 两式相减得 2Tn＝3＋2×(－1)1＋2×(－1)2＋…＋2×(－1)n-1－(2n＋1)·(－1)n ＝3＋2·－(2n＋1)·(－1)n ＝(2n＋2)·(－1)n-1＋2. 所以数列{bn}的前n项和Tn＝(n＋1)·(－1)n-1＋1. 法三：(裂项相消法) 因为bn＝(2n＋1)·(－1)n-1＝n·(－1)n-1－(n＋1)·(－1)n， 所以Tn＝[1×(－1)0－2×(－1)1]＋[2×(－1)1－3×(－1)2]＋…＋[n·(－1)n-1－(n＋1)·(－1)n]＝1·(－1)0－ (n＋1)·(－1)n＝1－(－1)n·(n＋1). 所以数列{bn}的前n项和 Tn＝(n＋1)·(－1)n-1＋1. 4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d， 由题意得 解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)， ∴bn＝＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ＝ ＝ ＝－. 四、数列模型的应用 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型．例如，存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关． 以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经济活动．银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型． [例 8]　借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061，1.015≈1.051)? 解：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝… ＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a. 由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝. 因为1.016≈1.061， 所以a≈≈1 739(元). 故每月应支付1 739元． 法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月， 则它的本利和为S1＝104 (1＋0.01)6＝104×1.016(元). 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元). 由S1＝S2，得a＝≈1 739(元). 故每月应支付1 739元． 5．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(　　) A．里　　　　　　　B．1 050里 C．里 D．2 100里 解析：选C　由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}， 则该匹马首日行走的路程为a1，公比为， 则有S7＝＝700， 则a1＝， 则S14＝＝(里). 故选C. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$