章末检测（一） 数列(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

章末检测（一）　数列 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（　　） A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 解析：B　观察可知该数列的通项公式为an＝，令21＝2n－1，解得n＝11. 2.各项均为正数的等比数列{an}中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意知an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，即q2＋q－1＝0，解得q＝（负值已舍去）. 3.在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10＝（　　） A.9　　　　B.10 C.11　　　　D.12 解析：C　设等差数列{an}的公差为d，则有（a4＋a5）－（a2＋a3）＝4d＝2，所以d＝.又（a9＋a10）－（a4＋a5）＝10d＝5，所以a9＋a10＝（a4＋a5）＋5＝11. 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a4＝，S6＝9S3.若bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和是（　　） A.－35 B.－25 C.25 D.35 解析：C　设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1，则解得所以an＝×2n－1＝2n－3，所以bn＝n－3，所以数列{bn}的前10项和T10＝＝5×（－2＋7）＝25.故选C. 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝（　　） A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 解析：A　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A. 6.已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝，a1＝，则a2 025＝（　　） A.　　B.　　C.　　D. 解析：D　由an＋1＝得＝＋1，所以数列是等差数列，首项＝2，公差为1，所以＝2＋（2 025－1）×1＝2 026，则a2 025＝. 7.设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝（　　） A.15 B.19 C.21 D.30 解析：B　由S3＝得3a2＝，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列可得＝S1·S4，又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故（2a2－d）2＝（a2－d）（4a2＋2d），化简得3d2＝2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴a10＝19. 8.已知数列{an}满足a1＝2，4a3＝a6，是等差数列，则数列{（－1）nan}的前10项的和S10＝（　　） A.220 B.110 C.99 D.55 解析：B　因为是等差数列，所以可设＝an＋b.所以an＝an2＋bn.因为a1＝2，4a3＝a6，所以a＋b＝2，且4（9a＋3b）＝36a＋6b，解得a＝2，b＝0，所以an＝2n2.所以S10＝2[（－12＋22）＋（－32＋42）＋…＋（－92＋102）]＝2×（1＋2＋3＋…＋10）＝110. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9.在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式可能是（　　） A.an＝3n，n∈N＋ B.an＝3n－1，n∈N＋ C.an＝（－1）n－13n，n∈N＋ D.an＝2n－1，n∈N＋ 解析：AC　由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×（－3）n－1＝（－1）n－13n.故数列的通项公式是an＝3n（n∈N＋）或an＝（－1）n－13n，n∈N＋. 10.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（　　） A.a4＝0 B.Sn的最大值为S3 C.S1＝S6 D.｜a3｜＜｜a5｜ 解析：AC　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即｜a3｜＝｜a5｜，故D不正确.故选A、C. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N＋，则下列说法正确的是（　　） A.数列{an＋1}是等差数列 B.数列{an＋1}是等比数列 C.数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D.Tn＜1 解析：BCD　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，即an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2（an＋1）.由a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则an＋1＝2n，即an＝2n－1，又＝＝－，可得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1，故A错误，B、C、D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　－　. 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得8×＝7×.整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－. 13.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n－1）＋F（n－2）（n≥3，n∈N＋）.此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 023项的和为　1 349　. 解析：由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2 023＝674×3＋1，所以数列{an}的前2 023项的和为674×2＋1＝1 349. 14.已知数列{an}，若一个新数列的前n项和为nan，则称该数列为数列{an}的“1阶衍生数列”，记作数列{（an）1}；同样的，若再有一个新数列的前n项和为n（an）1，则称该数列为数列{an}的“2阶衍生数列”，记作数列{（an）2}；…；以此类推，记（am）k为数列{an}的“k阶衍生数列”中的第m项.已知an＝2n－1，则（a3）2＝　17　；设数列{（a3）n}的前n项和为Sn，则Sn＝　2n＋3＋n－8　. 解析：因为a1＝1，a2＝3，a3＝5，所以（a2）1＝2a2－a1＝5，（a3）1＝3a3－2a2＝9，所以（a3）2＝3（a3）1－2（a2）1＝17.由题意可知（a1）n＝a1＝1，且（a2）n＋1＝2（a2）n－（a1）n，所以（a2）n＋1＝2（a2）n－1，所以[（a2）n＋1－1]＝2[（a2）n－1]，又（a2）1＝5，所以（a2）1－1＝4，所以（a2）n－1＝2n＋1，即（a2）n＝2n＋1＋1.因为（a3）n＋1＝3（a3）n－2（a2）n，所以（a3）n＋1＝3（a3）n－2n＋2－2，所以（a3）n＋1－4·2n＋1－1＝3[（a3）n－4·2n－1]，又（a3）1－4×2－1＝0，所以（a3）n－4·2n－1＝0，即（a3）n＝4·2n＋1，所以Sn＝＋n＝2n＋3＋n－8. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N＋. （1）求证：是等比数列； 解：（1）证明：由已知得an＋1－＝an－＝. 因为a1＝，所以a1－＝， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）求数列{an}的通项公式. 解：（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列， 所以an－＝×， 所以an＝×＋. 16.（本小题满分15分）已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋m（m∈R）. （1）求m的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn＝｜log2an－5｜，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）因为Sn＝2n＋m，所以当n≥2时，Sn－1＝2n－1＋m，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1（n≥2）. 又数列{an}为等比数列，所以an＝2n－1. 又a1＝S1＝21＋m＝21－1＝1，所以m＝－1. 综上，m＝－1，an＝2n－1. （2）由（1）知bn＝｜n－6｜. 当1≤n≤6时，n－6≤0，此时Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（6－1）＋（6－2）＋…＋（6－n）＝×n＝， 当n＞6时，Tn＝T6＋×（n－6）＝15＋＝. 所以Tn＝ 17.（本小题满分15分）已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且a2，a7，a22成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）. 由题意得 则 化简得解得 所以an＝3＋2（n－1）＝2n＋1. （2）证明：bn＝＝＝＝， 所以Tn＝（－＋－＋－＋…＋－＋－）＝（1＋－－）＝－＜. 18.（本小题满分17分）某公司一下属企业负责某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； （2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 解：（1）由题意得a1＝2 000×（1＋50％）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋50％）－d＝a1－d＝4 500－d，an＋1＝an（1＋50％）－d＝an－d. （2）由（1）得an＝an－1－d＝（ an－2－d）－d＝（ ）2·an－2－d－d＝…＝（ ）n－1a1－d［1＋＋（ ）2＋…＋（ ）n－2］， 整理得an＝（ ）n－1（3 000－d）－2d［（ ）n－1－1］＝（ ）n－1·（3 000－3d）＋2d. 由题意知am＝4 000，所以（ ）m－1（3 000－3d）＋2d＝4 000，解得d＝. 故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元. 19.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，是否存在m，k（k＞m≥2，m，k∈N＋）使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出符合条件的m，k的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d. 由已知，得 即解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝n（n∈N＋）. （2）假设存在m，k（k＞m≥2，m，k∈N＋）使得b1，bm，bk成等比数列，则＝b1bk. 因为bn＝＝， 所以b1＝，bm＝，bk＝， 所以＝×. 整理，得k＝. 因为k＞0， 所以－m2＋2m＋1＞0， 解得1－＜m＜1＋. 因为m≥2，m∈N＋， 所以m＝2，此时k＝8. 故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $