第1章 4 数列在日常经济生活中的应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 学习目标 素养要求 1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用． 2．能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题． 1.通过学习银行存款中的单利和复利的计息方式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助利用等差、等比数列相关知识解决经济生活中的问题，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　单利与复利 [问题]　小王2021年5月16日存入银行1 000元，年利率为1.75%. (1)计算到2022年5月16日得到的本利和； (2)办理一年定期储蓄，以后按约定自动转存，计算到2026年5月16日得到的本利和． 答：(1)1 000×(1＋1.75%) ＝1 017.5(元). (2)1 000×(1＋1.75%)5≈1 090.617(元). ►知识填空 单利、复利 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)． 续表 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n． (1)单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型． (2)零存整取、活期储蓄、定期储蓄(即整存整取)等都是计单利的储蓄模型． (3)定期自动转存是计复利的储蓄类型． (4)复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．　　 [自主检验] 1．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是(　　) A．　　　　　　　B． C．－1 D．－1 解析：选C　设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，∴x＝－1. 2．小李年初向银行贷款m万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始还款，分10次等额还清，每年1次，问每年应还________万元．(　　) A． B． C． D． 解析：选B　设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝m(1＋p)10，＝m(1＋p)10，x＝.故选B. 3．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 解析：选A　存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元． 4.阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，到期后自动转存，那么10年后共得本利和为________万元．(精确到0.001) 解析：10年后的本利和S＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元). 答案：6.246 题型一　等差数列模型的应用 [例 1]　王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元) 解：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20 000， 利用等差数列前n项和公式，得 A＝20 000， 解得A≈529(元). (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈555(元)， 这样，3年后的本息和为 555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰) ＝555 ≈20 978(元). (1)利用等差数列模型解答问题，首先要判断和证明数列是等差数列； (2)一定要弄清数列的首项、公差和项数等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. 　　 　某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备． 解析：由题意可知，设备运行n年的年平均费用为 ＝ ＝＋n＋1.5. 函数f(x)＝＋x(x>0)在(0，10)上单调递减， 在(10，＋∞)上单调递增， 当x＝10时取到最小值． 所以＋n＋1.5≥＋10＋1.5＝21.5. 当且仅当n＝10时上式取到等号． 答案：10 题型二　等比数列模型的应用 [例 2]　商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2020年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款． (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款； (2)若公寓管理处要在2028年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3＝0.239 1, lg 1.05＝0.021 2，1.058＝1.477 4) 解：依题意，公寓2020年底建成，2021年开始使用． (1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800(元)＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元． 依题意有62×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n-1]≥500(1＋5%)n+1. 化简得62×(1.05n－1)≥25×1.05n+1. ∴1.05n≥1.734 3. 两边取对数整理得n≥＝ ≈11.28. ∴取n＝12(年). ∴到2032年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x元，因到2028年底公寓共使用了8年， 依题意有[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9. 化简得(0.1x－18)×≥500×1.059. ∴x≥10 ＝10× ＝10×(18＋81.2)＝992(元) 故每生每年的最低收费标准为992元． 定期自动转存是复利的储蓄类型，复利问题需转化为等比数列模型解决．　　 　某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，每次付款数相同，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1) 解：设每期还款数为x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则A1＝2 000×(1＋0. 008)－x＝2 000×1.008－x， A2＝A1×(1＋0.008)－x＝2 000×(1＋0.008)2－1. 008x－x＝2000×1.0082－1.008x－x， A3＝A2 (1＋0.008)－x＝2000×1.0083－1.0082x－1.008x－x， …， A12＝2 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1.008＋1)x. 由题意年底还清，所以A12＝0， 解得x＝ ≈＝176(元)，所以每期应付款176元． 题型三　等差、等比数列模型的综合应用 [例 3]　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷 款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(1.110≈2.594，1.310≈13.786) 解：甲方案十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 甲方案净获利42.62－25.94＝16.68(万元). 乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T10＝1＋＋＋…＋＝＝32.50(万元)， 而贷款本息总数为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(万元)， 乙方案净获利32.50－17.53＝14.97(万元). 比较两方案可得甲方案获利较多． 解决数列实际应用题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，分清是等差数列，还是等比数列，然后转化为数学问题解决． [提醒]　要准确确定项数n.　　 　用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 解：　购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款组成数列{an}，则 a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)， a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)， a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)， … an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝万元 (n＝1，2，…，10). 因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列， a5＝4－＝3.2(万元). S10＝10×4＋＝31(万元). 因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． [课堂小结] 解决数列应用题的具体步骤 　(1)认真审题，理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题，是求an，还是求Sn.特别要注意准确弄清项数为多少． ②弄清题目中主要的已知事项． (2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$