第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第2课时　等比数列的性质及其应用 学习目标 素养要求 1.理解等比中项的概念，会求两个数的等比中项． 2．掌握等比数列的常用性质并能解决有关问题． 3．能运用等比数列的知识解决一些实际问题． 1.借助等比中项的学习，提升数学抽象的核心素养． 2．通过等比数列性质的探究与应用，培养数学运算的核心素养． 3．通过等比数列的实际应用，培养数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等比数列的常用性质 [问题]　已知等比数列{an}：1，2，4，8，16，…，2n-1，…. (1)计算a1a4＝_______；a2a3＝_______．并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们的项数之间有什么关系？ 答：a1a4＝8，a2a3＝8，所以a1a4＝a2a3； 项数之和对应相等，即1＋4＝2＋3. (2)若项数满足4＋5＝2＋7，那么a4a5＝a2a7吗？ 答：相等，a4＝23＝8，a5＝24＝16，a2＝2，a7＝26＝64，所以a4a5＝128＝a2a7. (3)若m＋n＝p＋l(m，n，p，l∈N＋)， 那么aman＝apal吗？ 答：相等，aman＝2m-1×2n-1＝2m＋n-2 apal＝2p-1×2l-1＝2p＋l-2.因为m＋n＝p＋l， 所以m＋n－2＝p＋l－2，所以aman＝apal. ►知识填空 1．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 2．等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列： ①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列． ②{|an|}是公比为|q|的等比数列． ③{a}(m为常数，m∈N＋)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn)是公比为q1·q2的等比数列． 知识点二　等比中项 [问题 1]　若三个数a，b，c成等比数列，那么它们之间的关系应如何表示？ 答：＝，即b2＝ac. [问题 2]　等比数列中的任意连续三项之间什么关系？ 答：a＝an－1·an＋1. ►知识填空 1．定义 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±.我们称G为a，b的等比中项． 2．结论 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等比中项，且其等比中项有两个．(　　) (2)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.(　　) (3)等比数列去掉前面若干项后，余下的项仍构成等比数列.(　　) (4)在等比数列{an}中，若m＋n＝p，则aman＝ap.(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知等比数列{an}，若a5＝2，a9＝32，则a4·a10等于(　　) A．±16　　　　　　　　　B．16 C．±64 D．64 解析：选D　因为{an}为等比数列，且a5＝2，a9＝32，由等比数列的性质得，a4·a10＝a5·a9＝2×32＝64. 3．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 解析：选C　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1. 4．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3 a1＋log3 a2＋log3 a8＋log3 a9的值为________． 解析：因为a4a6＝a，所以a4a5a6＝a＝3，解得a5＝3. 因为a1a9＝a2a8＝a， 所以log3 a1＋log3 a2＋log3 a8＋log3 a9＝log3 a1a2a8a9＝log3a＝log3 3＝. 答案： 题型一　等比数列性质的应用 [例 1]　已知数列{an}是等比数列， (1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式； (2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值． 解：(1)∵a＝a1a3，代入已知，得a＝8， ∴a2＝2. 设前三项为，2，2q，则有＋2＋2q＝7. 整理得，2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝. ∴或 ∴an＝2n-1或an＝4×＝23-n. (2)由等比数列的性质， 有a2a10＝a3a9＝a， 由a2·a6·a10＝1，得a＝1， ∴a6＝1， ∴a3a9＝a＝1. 巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法． ①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． (2)利用等比数列的性质解题． ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； ②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．　　 　在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　) A．　　　　　　　　　B． C．或 D．－或－ 解析：选C　因为数列{an}是等比数列， 所以a4·a14＝a7·a11＝6，又a4＋a14＝5， 解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2， 所以＝＝或. 题型二　灵活设项求解等比数列 [例 2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解：法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件得 解得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件得 解得或 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.　　 　已知三个实数a，b，c成等差数列且它们的和为12，又a＋2，b＋2，c＋5成等比数列，求出这三个实数a，b，c. 解：因为三个实数a，b，c成等差数列，且它们的和为12，故设a＝4－d，b＝4，c＝4＋d， 则由a＋2，b＋2，c＋5成等比数列， 得(6－d)，6，9＋d成等比数列， 可知36＝ (6－d)(9＋d)，解得d＝3，d＝－6， 所以a＝1，b＝4，c＝7或a＝10，b＝4，c＝－2. 题型三　等比数列的实际应用 [例 3]　从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? 解：由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－，第(n＋1)次操作后溶液的浓度为an＋1＝an， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列， 所以an＝a1qn-1＝， 即第n次操作后溶液的浓度是. 当a＝2时，由an＝<，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%. 等比数列应用题的关注点,(1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等．,(2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题．,(3)步骤,构造数列)→→→→→.　　 　某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原 计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？ 解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)， 则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25， 由题意得 解得 故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)， 即该厂第一季度实际生产电脑305台． [课堂小结] 1．{an}是等比数列⇔a＝an＋1·an－1(n≥2，n∈N＋)且an≠0，可作为证明等比数列的一种方法(等比中项法). 2．等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N＋)，则aman＝a进行求解． 3．等比数列实际应用的关键是建立等比数列模型，但要明确a1，n的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$