第2章 5 简单复合函数的求导法则（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第二章　导数及其应用 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 §5　简单复合函数的求导法则 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十八） Part 03 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 y 复合 中间变量 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 课时作业（十八） 点击进入word 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　导数及其应用 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.理解复合函数的概念． 2．掌握简单复合函数的求导法则并能熟练应用． 1.通过学习复合函数的概念，培养数学抽象的核心素养． 2．借助复合函数求导法则的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　复合函数的求导法则 [问题 1]　已知y＝(3x＋2)2，y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))). 这两个函数是复合函数吗？ 答：是复合函数． [问题 2]　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合而成的． 答：令u＝φ(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(φ(x))＝(3x＋2)2. [问题 3]　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，φ(x)＝3x＋2的导数． 答：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，φ′(x)＝3. [问题 4]　观察问题3中的导数有何关系． 答：y′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x). ►知识填空 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了 的值，进而确定了 的值，那么y可以表示成 x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的 函数，记作y＝ ，其中u为 ． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝ ，其中u＝φ(x). u f(φ(x)) f′(u)φ′(x) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (3)函数f′(x)＝cos 2x导数为f′(x)＝－sin 2x.(　　) (4)函数f(x)＝ln (5x)的导数为f′(x)＝ eq \f(1,x).(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．f(x)＝ln (cos2x)的导数是(　　) A． eq \f(1,cos2x)　　　　　　B． eq \f(2,cosx) C． eq \f(2sin x,cos x) D． eq \f(－2sin x,cos x) 解析：选D　因为f(x) ＝ln cos2x， 所以f′(x)＝ eq \f(2cosx(－sin x),cos2x)＝－ eq \f(2sinx,cos x). 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4. 4．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． 解析：易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a， 故a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，则a＝2. 答案：2 题型一　求简单的复合函数的导数 [例 1]　求下列函数的导数： (1)y＝ eq \f(1,\r(1－2x2))； (2)y＝sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))； (3)y＝5log2(2x＋1). 解：(1)设y＝u－ eq \f(1,2)，u＝1－2x2， 则y′＝(u－ eq \f(1,2))′(1－2x2)′ ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)u－\f(3,2)))·(－4x) ＝－ eq \f(1,2)(1－2x2)－ eq \f(3,2)(－4x) ＝2x(1－2x2)－ eq \f(3,2). (2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋ eq \f(π,3)， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin v cos v＝2sin 2v＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))). (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝ eq \f(10,u ln 2)＝ eq \f(10,(2x＋1)ln 2). [反思感悟] 　求下列函数的导数． (1)y＝e2x+1； (2)y＝ eq \f(1,(2x－1)3)； (3)y＝5log2 (1－x)； (4)y＝sin3x＋sin3x. 解：(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴yx ′＝yu′·ux ′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1. (2)函数y＝ eq \f(1,(2x－1)3)可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数， ∴yx ′＝yu′·ux′ ＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4 ＝－6(2x－1)-4＝－ eq \f(6,(2x－1)4). (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴yx ′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝ eq \f(－5,u ln 2)＝ eq \f(5,(x－1)ln 2). (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴yx′＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cosx＋3cos 3x. 题型二　复合函数导数的应用 [例 2]　已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝ eq \f(1,4)相切，求实数a的值． 解：因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋ eq \f(2,x－2)(x<2)， 所以f′(1) ＝2a－2， 所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝ eq \f(|2－a|,\r(4(a－1)2＋1))＝ eq \f(1,2)， 解得a＝ eq \f(11,8). [反思感悟] 解决此类问题，正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．　 1．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 解析：依题意，设P点坐标为(x0，y0)， 又y′＝－e－x， 所以－e－x0＝－2， 解得x0＝－ln 2，y0＝2，即P(－ln 2，2). 答案：(－ln 2，2) 2．(变条件)若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝ eq \f(1,4)相交”，求a的取值范围． 解：由例题知，直线l的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝ eq \f(1,4)相交， ∴圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝ eq \f(|2－a|,\r(4(a－1)2＋1))< eq \f(1,2)，解得a＞ eq \f(11,8). [课堂小结] 1．求简单复合函数f(ax＋b)的导数 实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对 y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导， 并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键． 2．导数的运算法则、复合函数的求导法则等给导数的求解带来极大的方便，在解决问题时，若能结合题目的条件，合理调配，创新处理，往往会起到事半功倍的效果． $$