第1章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §2　等差数列 §2．2　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（六） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 等差 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（六） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握等差数列前n项和的性质并能简单应用． 2．能利用等差数列的知识解决简单的实际问题． 1.通过等差数列前n项和性质的应用，提升数学运算的核心素养． 2．借助等差数列的知识解决实际问题，培养数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列前n项和的性质 [问题]　Sn是数列{2n－1}的前n项和． (1)判断数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是不是等差数列． (2)证明：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 答：设an＝2n－1，易知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列． (1) Sn＝n2，∴ eq \f(Sn,n)＝n，即数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列． (2)证明：∵S3＝a1＋a2＋a3，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋18. S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a4＋a5＋a6＋18， 故S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． ►知识填空 等差数列的前n项和常用的性质 1．等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为 的等差数列． 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为 数列． 3．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， (1)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， eq \f(S奇,S偶)＝ eq \f(an,an＋1)； (2)当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， eq \f(S奇,S偶)＝ eq \f(n,n－1). k2d [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n＋1＝(2n＋1)an.(　　) (2)若等差数列{an}共有20项，则 eq \f(S奇,S偶)＝ eq \f(a9,a10).(　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S5，S10，S15也成等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则数列{|an|}一定不是等差数列．(　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　) A．12　　　　　B．24 C．36 D．48 解析：选B　S10＝ eq \f(1,2)×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：选B　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列， 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45. 4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 解析：由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝ eq \f(10,2)×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3. 答案：3 题型一　等差数列前n项和性质的应用 [例 1]　(1)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且 eq \f(Sn,Tn)＝ eq \f(2n＋2,n＋3)，则 eq \f(a5,b5)＝________； (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解析：(1) eq \f(a5,b5)＝ eq \f(a1＋a9,b1＋b9)＝ eq \f(\f(9,2)(a1＋a9),\f(9,2)(b1＋b9))＝ eq \f(S9,T9)＝ eq \f(2×9＋2,9＋3)＝ eq \f(20,12)＝ eq \f(5,3). 答案： eq \f(5,3) (2)法一：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，前10项和为10S10＋ eq \f(10×9,2)d＝S100＝10，解得d＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，所以S110＝－120＋S100＝－110. 法二：设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S10＝100A＋10B＝100，,S100＝1002A＋100B＝10，)) 解得A＝－ eq \f(11,100)，B＝ eq \f(111,10).故Sn＝－ eq \f(11,100)n2＋ eq \f(111,10)n， 所以S110＝－ eq \f(11,100)×1102＋ eq \f(111,10)×110＝－110. [反思感悟] 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 　　　　在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　) A．9　　　　　 B．12 C．16 D．17 解析：选A　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9. 题型二　求数列{|an|}的前n项和 [例 2]　已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a1·a2＝a eq \o\al(2,3)，求数列{|an|}的前n项和． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝－3，,a1·(a1＋d)·(a1＋2d)＝8，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝－3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3.)) 所以由等差数列通项公式得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)当an＝－3n＋5时，a1，a2，a3分别为2，－1，－4， 不满足a1·a2＝a eq \o\al(2,3)； 当an＝3n－7时，a1，a2，a3分别为－4，－1，2， 满足a1·a2＝a eq \o\al(2,3). 故|an|＝|3n－7|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3n＋7，n＝1，2，,3n－7，n≥3，)) 记数列{|an|}的前n项和为Sn， 当n＝1时，S1＝|a1|＝4； 当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋ eq \f((n－2)[2＋(3n－7)],2)＝ eq \f(3,2)n2－ eq \f(11,2)n＋10. 当n＝2时，满足此式． 综上，Sn＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,\f(3,2)n2－\f(11,2)n＋10，n≥2.)) [反思感悟] (1)对绝对值数列{|an|}出题时常常针对其前n项和，一般有两个方面：一是已知an；二是已知数列{an}的前n项和Sn. (2)对于这类数列的求和问题，一是要弄清{an}中哪此项为正，哪些项为负；二是要将绝对值和的问题转化为等差数列的求和问题．特别注意用分段函数的形式表示结果．　　 　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解：因为等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4， 所以an＝13＋(n－1)×(－4)＝17－4n， 等差数列{an}的前n项和Sn＝13n＋ eq \f(n(n－1),2)×(－4)＝15n－2n2， 由an＝17－4n>0，得n< eq \f(17,4)， a4 ＝17－16＝1，a5＝17－4×5＝－3， 因为Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|， 所以n≤4时，Tn＝Sn＝15n－2n2， n≥5时，Tn＝－Sn＋2S4＝2n2－15n＋56. 所以Tn＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，,2n2－15n＋56，n≥5.)) 题型三　等差数列前n项和的实际应用 [例 3]　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝ eq \f(60＋(60－19×0.5),2)×20＝1 105， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元). [反思感悟] 应用等差数列解决实际问题的一般思路 　 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何，”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　) A．30尺　　　　　　　　B．90尺 C．150尺 D．180尺 解析：选B　由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1， ∴S30＝ eq \f(30×(5＋1),2)＝90，即共织布90尺． [课堂小结] 1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形 (1)Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n； (2) eq \f(Sn,n)＝ eq \f(d,2)n＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为\f(d,2)的等差数列)). 2．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点． 3．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． $$