第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §2　等差数列 §2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（五） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 最小 最大 最大 最小 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（五） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列的前n项和公式并能应用其解决前n项和及其最值等有关问题． 1.借助等差数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　等差数列的前n项和公式 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． [问题 1]　共有几层？图形的横截面是什么形状？ 答：六层；等腰梯形． [问题 2]　假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ 答：(4＋9)×6＝78. [问题 3]　原来有多少根钢管？ 答： eq \f(1,2)×78＝39. [问题 4]　能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? 答：Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn＝an＋an－1＋…＋a1 相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2 ＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2). 2．因为Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有 值；当d<0时，Sn有 值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． 3．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定． ►知识填空 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝ 知识点二　等差数列前n项和的函数性质与最值 ►知识填空 等差数列前n项和的函数性质与最值 1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋ eq \f(n(n－1),2)d可化成关于n的函数得Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n. eq \f(1,2)n(a1＋an) na1＋ eq \f(1,2)n(n－1)d 知识点三　Sn与an的关系 [问题]　设Sn＝a1＋a2＋…＋an，若已知Sn，如何求an? 答：由Sn＝a1＋a2＋…＋an，① 得当n≥2时，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1. ② ①－②得Sn－Sn－1＝an， 所以an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) ►知识填空 数列{an}的前n项和Sn与an的关系 　an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设Sn是{an}的前n项和，则an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N＋.(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝4，则{an}不是等差数列．(　　) (3)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　) (4)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的一次函数.(　　) 提示：：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　) A．12　　　　　　　B．13 C．14 D．15 解析：选B　∵S5＝ eq \f(5(a1＋a5),2)＝5a3＝25， ∴a3＝5， ∴d＝a3－a2＝5－3＝2， ∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13. 3．已知{an}的前n项和Sn＝ eq \f(1,n)，则a5的值等于(　　) A． eq \f(1,20) B．－ eq \f(1,20) C． eq \f(1,30) D．－ eq \f(1,30) 解析：选B　a5＝S5－S4＝ eq \f(1,5)－ eq \f(1,4)＝－ eq \f(1,20). 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝3，则公差d＝________． 解析：由等差数列的前n项和公式可得 S3＝ eq \f(3(a1＋a3),2)＝ eq \f(3×2a2,2)＝3， 解得a2＝1，故公差d＝a3－a2＝4－1＝3. 答案：2 题型一　等差数列前n项和的相关计算 [例 1]　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24, S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　 　B．2　 　C．4　 　D．8 (2)在等差数列{an}中， ①已知a3＝16，S20＝20，求S10； ②已知a1＝ eq \f(3,2)，d＝－ eq \f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12. 解析：(1)选C　设公差为d， 则a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋ eq \f(6×5,2)d＝48， 联立得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24，　　　①,6a1＋15d＝48， ②)) ①×3－②得(21－15)d＝24，6d＝24，所以d＝4. (2)①设等差数列{an}的公差为d，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16，,20a1＋\f(20×(20－1),2)d＝20，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝20，,d＝－2.)) 所以S10＝10×20＋ eq \f(10×9×(－2),2)＝200－90＝110. ②因为Sn＝n× eq \f(3,2)＋ eq \f(n(n－1),2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以n＝12. a12＝ eq \f(3,2)＋(12－1)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4. [反思感悟] 等差数列前n项和的运算技巧 (1)列方程：此类运算涉及的基本量有a1，d，n，an，Sn，一般转化为关于a1，d，n的方程组，解出方程组后再求其他的基本量． (2)用性质：利用等差数列的性质简化运算，常用的性质如若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (3)当已知首项、末项和项数时，用Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2)较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn＝na1＋ eq \f(n(n－1),2)d较好． 　　　　设等差数列{an}满足a1＝－11，a4＋a6＝－6. (1)求{an}的通项公式an； (2)设{an}的前n项和为Sn，求满足Sk ＝189成立的k值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝－11，a4＋a6＝－6， 所以2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2. 所以an＝－11＋2(n－1)＝2n－13. (2)由(1)得Sn＝n2－12n. 由Sk＝189，得k2－12k＝189， 解得k＝21，k＝－9(舍)，所以k＝21. 题型二　an与Sn的关系及其应用 [例 2]　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1)) eq \s\up12(2)－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1)) eq \s\up12(2)－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2，n＝1，,4n－5，n≥2.)) 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． [反思感悟] 由Sn求通项公式an的步骤 　第一步：令n＝1，则a1＝S1，求得a1； 　第二步：令n≥2，则an＝Sn－Sn－1； 　第三步：验证a1与an的关系： 　①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1； 　②若a1不适合an，则an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))　　 　1．(变条件)本例若把数列{an}的前n项和变为Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1， 又a1＝5适合上式，∴an＝4n＋1，n∈N＋. 故数列{an}是等差数列，它的首项是a1＝5，公差是d＝4. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋3， 经验证当n＝1时，上式不符合， 故an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－4n＋3，n≥2.)) (2)不是等差数列． ∵a2－a1＝－6≠a3－a2＝－4，故{an}不是等差数列． 题型三　等差数列前n项和的最值 [例 3]　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． 解：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)法一：∵a1＝9，d＝－2， ∴Sn＝9n＋ eq \f(n(n－1),2)·(－2) ＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值． 法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0， ∴{an}是递减数列． 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤ eq \f(11,2). ∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴S5最大． 即n＝5时，Sn取得最大值． [反思感悟] 求等差数列前n项和的最值问题的两种方法 (1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最大值的n可由不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最小值的n可由不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定． (2)因为Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.　 　1．(变条件)若本例中条件变为“等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11”，则n＝________时，Sn取得最大值． 解析：法一：S3＝S11， 所以其对称轴为n＝ eq \f(3＋11,2)＝7，知n＝7时Sn取最大值． 法二：因为S3＝S11， 所以a4＋a5＋…＋a11＝4(a7＋a8)＝0， 又a1＝13>0，故a7>0，a8<0，所以n＝7时，Sn取得最大值． 答案：7 2．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为________． 解析：法一：对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当Sn取得最大值时，对任意n∈N＋满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))解得n＝20.即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20. 法二：同解法一可得公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，则n＝1时，a1＝39，所以Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，即当n＝20时，Sn取得最大值，从而满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20. 答案：20 [课堂小结] 1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用． 3．由Sn与an的关系求an，主要使用公式 an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2.)) 4．求等差数列前n项和最值的两种常用方法． (1)二次函数法； (2)通项公式法. $$