精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道映月中学2024-2025学年九年级下学期毕业考试数学试题

2024-2025学年初三毕业考试数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 10. 已知二次函数的图象如图，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 正五边形的外角和等于 _______◦． 12. 因式分解： _______． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 14. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH_______． 15. 小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为______． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点 电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲 求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值． 18. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若，，求的长． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者与被测量者都垂直于地面． （1）如图①若手机显示，，请确定此时被测量者的身高的长； （2）如图②若手机显示，，，求此时被测量物的高．（结果保留根号）（，，） 20. 综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： （1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ （2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 21. 随着电影《热辣滚烫》春节票房夺冠，健身减肥成为热门的话题．很多人用身体质量指数来判断自己的体重是否正常，其计算公式是，如：某人身高，体重，则他的，中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖，为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取了__________名员工； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）体重“肥胖”所对应的扇形圆心角的度数是__________； （4）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉多少．（结果精确到） 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，正方形的边长为4，E为上一点（B、C点除外），连接，以为直径作，与对角线的另一交点为F，连接，． （1）证明：为等腰直角三角形； （2）如图2，连接，若． ①证明：与相切； ②求四边形的面积． 23. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年初三毕业考试数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义．根据两个数相乘积是1，则该两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：B． 2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方、单项式除以单项式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方、单项式除以单项式的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算正确，符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，先结合，得，因为直线，则，即可作答． 【详解】解：如图所示， ， ． ∵直线， ， ． 故选：A． 6. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 7. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 8. 如图，是的中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线求出，再根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 10. 已知二次函数的图象如图，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象可知其与x轴有2个交点，再根据判别式的意义可对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，再由对称轴得出，则可对②③进行判断；利用二次函数的最大值为2可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，，故②正确；③错误； ∵方程没有实数根，即没有实数根，而二次函数的最大值为2， ∴，所以④正确． 故共有3个正确． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 正五边形的外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 12. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 13. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 14. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24， ∴AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴BC＝＝5， ∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24， ∴AH＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键． 15. 小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握用轴对称的性质解决线段最短问题，作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，再据此求解即可． 【详解】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点， 由轴对称性质可得，由平移的性质可得， 当三点共线时，的值最小， 此时，的值最小， 矩形中，，洞口M 位于的中点处， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值四类运算．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键． 17. 年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点 电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲 求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：的值为． 18. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，为所求． （2）的长为2． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法，解决本题的关键是熟记平行四边形的性质． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可； （2）根据角平分线和平行线可得到，然后利用平行四边形对边相等计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平行四边形中，， ， 由（1）知，， ， ， 在平行四边形中，，， ， ． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者与被测量者都垂直于地面． （1）如图①若手机显示，，请确定此时被测量者的身高的长； （2）如图②若手机显示，，，求此时被测量物的高．（结果保留根号）（，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，即可得到； （2）过点D作于H，利用三角函数求出，得到，再根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 答：此时测试者的身高长为1.7m； 【小问2详解】 过点D作于H， 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴被测量物的高是． 【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握各三角函数的计算法则是解题的关键． 20. 综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： （1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ （2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】（1） 垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2） 在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 随着电影《热辣滚烫》春节票房夺冠，健身减肥成为热门的话题．很多人用身体质量指数来判断自己的体重是否正常，其计算公式是，如：某人身高，体重，则他的，中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖，为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取了__________名员工； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）体重“肥胖”所对应的扇形圆心角的度数是__________； （4）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉多少．（结果精确到） 【答案】（1）20 （2）偏胖人数为8人， 补充条形图如下： （3） （4）他的体重至少需要减掉 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用胖瘦程度为“正常”的员工数量除以其占比，可求出此次调查抽取的人数； （2）根据调查的各部分之和等于调查总人数，可求出胖瘦程度为“偏胖”的员工数量，据此补充条形统计图即可； （3）先用胖瘦程度为“肥胖”的员工数量除以调查总人数，求出胖瘦程度为“肥胖”的员工占比，再根据各部分扇形圆心角的度数二部分占总体的百分比，即可求解； （4）先根据小张的身高和值，求出小张目前的体重；为使值达到正常，他的值至少得到24，据此再求当值为24，身高为应达到的体重；将小张目前的体重和应达到的体重作差，即可解答． 【小问1详解】 解：(名)， 故答案为：20． 【小问2详解】 (名)， 【小问3详解】 ， 故答案为：． 【小问4详解】 ， ， ， 答：他的体重至少需要减掉． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，正方形的边长为4，E为上一点（B、C点除外），连接，以为直径作，与对角线的另一交点为F，连接，． （1）证明：为等腰直角三角形； （2）如图2，连接，若． ①证明：与相切； ②求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）①证明：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； ②8 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，根据正方形的性质和圆周角定理得出，结合三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，即可得证； （2）①根据三线合一的性质求出，证明，得出，进而得出，然后根据切线的判定即可得证； ②过C作于G，根据等角对等边可得出，证明，可得出，设，则，在中，根据勾股定理可求出，在中，根据勾股定理可求出，结合，得出，求出，则，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判断，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 23. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $