第十五讲 二元一次方程组的解法（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十五讲 二元一次方程组的解法 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法:将方程组中其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。 2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 (1)变形 选取一个二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数. (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程. (3)求解 解消元后的一元一次方程. (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程. (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来. 知识点02：用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 (1)变形 根据绝对值较小的未知数的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数. (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减. (3)求解 解消元后的一元一次方程. (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程. (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来. 考点1：代入消元法解方程组 【典型例题】 用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 由方程组可得出与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 方程组用代入法消去后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 考点2：加减消元法解二元一次方程组 【典型例题】 已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，已知点，且满足二元一次方程组，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练2】 用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（   ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 考点3：二元一次方程组的错解问题 【典型例题】 李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1】 两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点4：已知二元一次方程组的解求参数 【典型例题】 已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 【变式训练1】 若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练2】 已知方程组的解满足，则k的值是（   ） A． B． C． D． 考点5：二元一次方程组的同解问题 【典型例题】 已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练1】 已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【变式训练2】 关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若是关于，的二元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若和都是方程的解，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 4．关于x的方程的两个解是和，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D．1 5．已知关于、的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④在③的条件下，，的值都为自然数的解有对，其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 6．的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知二元一次方程组，且，，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 8．如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．用加减法解方程组时，得 ． 10．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 11．一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是 ． 12．已知方程组的解满足方程，则 ． 13．若关于的二元一次方程组与方程组有相同的解，则的值为 ． 14．若是二元一次方程的解，则a的值为 ． 15．关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 16．已知方程组的解是，则的解是 ． 三、解答题 17．解方程组： (1) (2) 18．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 19．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 20．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十五讲 二元一次方程组的解法 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法:将方程组中其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。 2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 (1)变形 选取一个二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数. (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程. (3)求解 解消元后的一元一次方程. (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程. (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来. 知识点02：用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 (1)变形 根据绝对值较小的未知数的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数. (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减. (3)求解 解消元后的一元一次方程. (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程. (5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来. 考点1：代入消元法解方程组 【典型例题】 用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：将方程①代入②得：， 整理得：， 故选：D． 【变式训练1】 由方程组可得出与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把②代入①，方程组消去m即可得到x与y的关系式． 【详解】解：， 把②代入①得：， 整理得：， 故选A． 【变式训练2】 方程组用代入法消去后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组．依据代入消元法，即可得出结论． 【详解】解：将代入， 消去y后所得到的方程是， 去括号，得． 故选：D． 考点2：加减消元法解二元一次方程组 【典型例题】 已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的解求参数等内容，解题的关键是掌握加减法． 两方程相加得到，然后利用根的和进行求解即可． 【详解】解： ①+②得， ∴， 解得， 故选：C． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，已知点，且满足二元一次方程组，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键； 先解方程组，根据方程组的解即可判断点所在的象限． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， 所以方程组的解是， ∴点为，在第四象限． 故选D． 【变式训练2】 用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（   ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】D 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 【详解】解：A、，消去，正确，故本选项不符合题意； B、，消去，正确，故本选项不符合题意； C、，消去，正确，故本选项不符合题意； D、，能消去，而不能消去，所以原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D 考点3：二元一次方程组的错解问题 【典型例题】 李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 【变式训练1】 两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 【变式训练2】 两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得：， 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 考点4：已知二元一次方程组的解求参数 【典型例题】 已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式训练1】 若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的整体代入求法，掌握求法是解题的关键． 将①②，整体代入求解即可． 【详解】解： ， ①②得：， ∴， ， ， 解得：． 故选：A． 【变式训练2】 已知方程组的解满足，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．掌握加减消元法是解题的关键．把方程组中两个方程相减即可得到，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 考点5：二元一次方程组的同解问题 【典型例题】 已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 【详解】解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 【变式训练1】 已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 两式相加，得 解得 把代入，得 解得 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得 整理得 得 解得 把代入得 解得 ∴． 故选：D． 【变式训练2】 关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 一、单选题 1．若是关于，的二元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解二元一次方程组，根据二元一次方程的定义，建立方程组求解和的值，再计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 2．若和都是方程的解，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，由题意可得，解二元一次方程组即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解这个方程组，得， 故选：A． 3．数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，需通过对方程进行适当变形，消去一个未知数． 【详解】解：选项A：消去，将，得，得．相减后，的系数为，无法消去，故A错误． 选项B：消去，将，得，得．相减后，x的系数，消去，得到，故B正确． 选项C：消去，将，得，得．相加后，的系数为，无法消去，故C错误． 选项D：消去，将，得，得． 相减后，的系数为，无法消去，故D错误． 故选：B． 4．关于x的方程的两个解是和，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程和二元一次方程组的求解及绝对值的计算，解题的关键在于利用给定的解代入原方程，形成含有未知系数的方程组，通过解方程组确定系数的具体值，进而计算所需表达式的值．将两个解代入、建立方程组、解方程组，最后计算绝对值即可． 【详解】解：将代入方程，得（1）， 将代入得： （2） （1）（2）得，解得， 将代入（1）：，解得， ， 故选：C． 5．已知关于、的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④在③的条件下，，的值都为自然数的解有对，其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，解题关键是读懂题意，会反向思考．①将代入检验即可做出判断；②将x和y分别用a表示出来，然后求出来判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④由得到x、y都为自然数的解有4对，进一步可得答案． 【详解】解：若是的解， 则， 得：，相互矛盾，故①错误，不符合题意； 解方程， 得：， 解得：， 将代入①得：， ∴，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确； 当时，方程组为， 解得：， ∵，故③正确，符合题意； 由③得：， ∴x、y都为自然数的解有，，，．故④正确． 则正确的选项有②③④． 故选：D． 6．的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，二元一次方程组的求解，首先利用加减消元法求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：方程组 ，整理得：， 解得：， 的两边分别为4，6， 设第三边长为a，则， 第三边能被3整除， 或6或9， 所以这样的三角形有3个． 故选：C． 7．已知二元一次方程组，且，，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，有理数的乘方，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的乘方运算法则是解题的关键．将两个方程相加，得出，即，由可得，再将两个方程相减，得出，由，可得，把代入，根据有理数的乘方运算法则即可得出答案． 【详解】解：， ，得，即， ， ． ，得， ， ， ． 故选：A． 8．如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键． 将方程整理得，根据题意可得即可求解． 【详解】解：将两边同时除以2， 得， 整理得，， ∵关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：D． 二、填空题 9．用加减法解方程组时，得 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法，根据等式的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 得：； 故答案为：． 10．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将方程组的解代入方程组，就可得到关于、的二元一次方程组，解得、的值，即可求的值． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴， 解得， ∴． 故答案为1． 11．一个三角形的三条边的长分别是，另一个三角形的三条边的长分别是．若这两个三角形全等，则的值分别是 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解二元一次方程组，掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用全等三角形对应边相等列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得，或， 解得或， ∴的值分别是，或，， 故答案为：，或，． 12．已知方程组的解满足方程，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊求法，采用整体法求得的值成为解答本题的关键．根据方程组中未知数系数特点，将两式相加先求出的值，然后求出的值即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 13．若关于的二元一次方程组与方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组，是解题的关键． 联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】联立得：， 得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， 把代入得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：， ∴， 故答案为：5 14．若是二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 15．关于x，y的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，由题意可①②得，然后问题可求解．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． ∴ 故答案为：． 16．已知方程组的解是，则的解是 ． 【答案】 【分析】本题考査了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将②代入①中，得， 解得， 将代入②中，得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入①，得， 解得 ∴原方程组的解为． 18．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，，． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①，得， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②，得， 得， 即，． 19．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 20．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$