第十四讲 认识二元一次方程组（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+高频精练）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十四讲 认识二元一次方程组 （知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二元一次方程 定义: 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. 条件: (1)必须是整式方程(分母中不含未知数)； (2)方程中含有两个未知数(二元)； (3)含有未知数的项的次数都是1(一次) 知识点02：二元一次方程组 定义 :共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 条件: (1)两个方程都是整式方程；(2)共含两个未知数；(3)两个方程都是一次方程 知识点03：二元一次方程的解 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解 知识点04：二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解. 判断方法: 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解 考点1：二元一次方程的定义 【典型例题】 下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】 方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 考点2：二元一次方程的解 【典型例题】 若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式训练1】 二元一次方程的非负整数解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 考点3：二元一次方程组的定义 【典型例题】 下列选项中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点4：判断是否是二元一次方程的解 【典型例题】 以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 考点5：已知二元一次方程的解求参数 【典型例题】 已知关于的二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 【变式训练1】 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练2】 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点6：根据实际问题列二元一次方程组 【典型例题】 晚托期间，八（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多4人；后来，羽毛球组有8人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数是羽毛球组报名人数的2倍．设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 中国古代数学专著《九章算术》有方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两和y两，可得方程组是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列式子中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 4．下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是二元一次方程的三个解，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（   ） A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3 7．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（   ） A．B．C． D． 8．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．二元一次方程有一组解互为相反数，则y的值为 ． 10．已知 是二元一次方程的一组解， 则 ． 11．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 12．下列表格中给出的几组数都是关于的二元一次方程的解，表格中的值为 ． 0 1 2 5 3 1 －1 13．若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 14．如果是方程的一个解，那么代数式的值是 ． 15．已知是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 16．新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组 ． 三、解答题 17．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 18．已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 19．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 20．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十四讲 认识二元一次方程组 （知识总结梳理+6大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二元一次方程 定义: 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. 条件: (1)必须是整式方程(分母中不含未知数)； (2)方程中含有两个未知数(二元)； (3)含有未知数的项的次数都是1(一次) 知识点02：二元一次方程组 定义 :共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 条件: (1)两个方程都是整式方程；(2)共含两个未知数；(3)两个方程都是一次方程 知识点03：二元一次方程的解 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解 知识点04：二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解. 判断方法: 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解 考点1：二元一次方程的定义 【典型例题】 下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，由此逐项分析即可． 本题考查二元一次方程的判断，理解基本定义是解题关键． 【详解】解：A．的次数是2， 不是二元一次方程， 此选项不符合题意； B．不是整式， 不是二元一次方程， 此选项不符合题意； C．的次数是1，且是整式， 是二元一次方程， 此选项符合题意； D．的次数是 不是二元一次方程， 此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 【变式训练2】 方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件： ①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次； 根据二元一次方程的概念列出方程，求解字母的值即可． 【详解】方程 是二元一次方程， ，， 解得，， 故选：C． 考点2：二元一次方程的解 【典型例题】 若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 把代入二元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入二元一次方程得 ， ， 故选：A． 【变式训练1】 二元一次方程的非负整数解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键． 先用y表示x，再去求非负整数解即可． 【详解】解：， ． 已知x、y都是非负整数， 当时，； 当时，； y取其它的非负整数得到的x不为非负整数， 即方程有两个非负整数解∶或． 故选：B． 【变式训练2】 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，使方程左右两边相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，如果一组数值是二元一次方程的解，则把这对数值代入方程，等式的两边成立；接下来分别将各项中x与y的值代入方程，进行检验即可得到结果． 【详解】解：A、当时，左边右边，故A的值是该方程的解； B、当时，左边右边，故B的值不是该方程的解； C、当时，左边右边，故C的值是该方程的解； D、当时，左边右边，故D的值是该方程的解． 故选：B． 考点3：二元一次方程组的定义 【典型例题】 下列选项中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故选项错误； B、，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故选项错误； C、，第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故选项错误； D、，是二元一次方程组，故选项正确， 故选：D． 【变式训练1】 下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，故此选项符合题意； B、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； C、含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练2】 有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的定义，即含有两个未知数且每一个方程都是二元一次方程，判断解答即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③是二元一次方程组，符合题意； ④不是二元一次方程组，不符合题意． ∴二元一次方程组有①②③，共3个． 故选C． 考点4：判断是否是二元一次方程的解 【典型例题】 以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 【变式训练1】 若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】 下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 考点5：已知二元一次方程的解求参数 【典型例题】 已知关于的二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数，将代入求出，即，再将x，y的值代入，得，即可得解． 【详解】解：二元一次方程组的解为， ∴将代入， 解得，即， 再将代入， 解得， ∴ 故选：D． 【变式训练1】 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 【变式训练2】 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 将代入，得到，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 故选D． 考点6：根据实际问题列二元一次方程组 【典型例题】 晚托期间，八（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多4人；后来，羽毛球组有8人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数是羽毛球组报名人数的2倍．设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，依题意得： ， 故选：A． 【变式训练1】 在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 根据“一共有60名工人参与制作”可得，根据“每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖”可得． 【详解】解：设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章， 由题意得：， 故选：C． 【变式训练2】 中国古代数学专著《九章算术》有方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两和y两，可得方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每只雀、燕的重量各为x两和y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量各为x两和y两， 根据题意得：， 故选：B． 一、单选题 1．下列式子中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：A、，不是等式，所以它不是方程，故本选项不符合题意； B、，含未知数的项的最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、，是二元一次方程，故该选项符合题意； D、，只有个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握代入法验证方程是否成立是解决问题的关键．将选项逐一代入方程验证即可． 【详解】解：A、方程左边，方程右边，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； B、方程左边，方程右边，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； C、方程左边，方程右边，左边右边，故是方程的解，符合题意； D、方程左边，方程右边，左边右边，故不是方程的解，不符合题意． 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 4．下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 5．已知是二元一次方程的三个解，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据两个二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可． 【详解】解：是二元一次方程的三个解， 是二元一次方程的三个解， ∴是二元一次方程和的公共解， ∴二元一次方程组的解为， 故选：C． 6．方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（   ） A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组即可得到以“■”“”为未知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：A． 7．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设原表高x尺，影长y尺， 根据题意得：， 故选：A 8．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为，长为， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于3． ∴． 故选：B． 二、填空题 9．二元一次方程有一组解互为相反数，则y的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的解、相反数的性质，根据相反数的性质得到，代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程有一组解互为相反数， ∴，则， 将代入中，得， 解得，即y的值为2． 故答案为：2． 10．已知 是二元一次方程的一组解， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．把代入方程求出a的值即可． 【详解】解：把代入方程， 则， 解得：， 故答案为：． 11．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入可得， ， 故答案为：11． 12．下列表格中给出的几组数都是关于的二元一次方程的解，表格中的值为 ． 0 1 2 5 3 1 －1 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解法和待定系数法，解题的关键是利用已知的解代入方程，建立关于系数 a 和 b 的方程组，求出 a 和 b 的值，从而确定方程的具体形式．先求出二元一次方程中a和b的值，利用表格中已知的两组解（如和）代入方程，得到关于的二元一次方程组，解出a、b后确定方程，再将代入方程求出对应的y（即m）． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，，代入，得 解得， ∴. 当时，，解得，即. 故答案为：． 13．若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把与的值代入已知方程计算即可求出的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．如果是方程的一个解，那么代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．已知是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，解题的关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得： ， 解得：， 故答案为：． 16．新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 三、解答题 17．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【详解】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 18．已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 19．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 把，代入得：， 解得． 20．若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 学科网（北京）股份有限公司 $$