第十七讲 二元一次方程与一次函数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十七讲 二元一次方程与一次函数 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程与相应一次函数的关系 知识点02：二元一次方程组与一次函数的关系 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 知识点03：用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： (1)设：设出函数表达式为y=kx+b； (2)代：把已知条件代入，得到关于k， b 的方程组； (3)解：解方程组，求出 k， b 的值； (4)写：写出其表达式。 知识点04：在实际问题中求解一次函数的表达式 1. 利用一次函数的表达式解决实际问题的思路 2.一次函数性质的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的性质解决问题. 考点1：求一次函数的解析式 【典型例题】 已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式， 将点的坐标代入可得点A的坐标，再将点的坐标代入一次函数可得答案. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴点. ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得. 故选：C. 【变式训练1】 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． 【变式训练2】 若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．将点代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴此函数的解析式为：， A、∵当时，则，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； B、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：A． 考点2：一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系 【典型例题】 若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 先求出点的纵坐标，再利用一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解是， 故选：D． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象交于点，若将点的坐标看作某个二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解与图形交点的关系，解题关键是利用给定交点验证各选项方程组，判断该点是否同时满足两方程，从而确定正确选项．将P点坐标代入各选项方程，检验等式是否成立，最终确定唯一符合条件的方程组即可． 【详解】解：A．，将点代入①得，，不成立，故此选项不符合题意； B．，将点代入①得，，成立；代入②得，成立，故此选项符合题意； C．，将点代入①得，，不成立，故此选项不符合题意； D．，将点代入①得，，成立，代入②得，不成立，故此选项不符合题意 综上，只有选项B的方程组解为P点． 故选：B． 【变式训练2】 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点，点坐标为， 的解为． 故选：C． 考点3：求直线围成三角形的面积 【典型例题】 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出，，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当时，，且的图象在图象的上面，进而求解即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交于点， ∴， ∵一次函数与y轴交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为，故C选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，且的图象在图象的上面， ∴当从0开始增加时，函数比的值先达到3说法错误，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（    ） A．2 B．或 C． D．2或 【答案】D 【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在y=2x+b中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=b， ∴A（-，0），B（0，b）， ∴OA=|-|，OB=|b|， ∵S△AOB=1， ∴OA•OB=1，即×||×|b|=1， 整理可得|b|2=4， ∴b=2或b=-2，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键． 【变式训练2】 点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 一、单选题 1．已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个一次函数交点坐标的求解，解题的关键是理解两函数图象的交点坐标是对应方程组的解．联立两个一次函数的解析式组成方程组；解方程组求出x和y的值，得到交点坐标；对比选项得出正确答案． 【详解】解：联立两函数解析式得： 将第一个方程代入第二个方程得：， ∴． 把代入得：． 所以交点Q的坐标为． 故选：B． 2．如图所示的函数图像所对应的一次函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图像和性质． 直接根据一次函数的图像与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：通过图像可知，随的增大而减小， ∴； 通过图像可知，直线与轴交于正半轴， ∴； 通过图像可知，直线与轴的交点到原点的距离，比直线与轴的交点到原点的距离大， 得出； ∴只有选项C符合题意， 故选：C． 3．如图，过点的一次函数图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 先确定点B的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 故选：D． 4．已知方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数的平移，理解两直线的交点坐标即为这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解是解题关键． 根据题意得出与的交点坐标为，再由一次函数的平移确定一次函数与的图象的交点坐标是向下平移3个单位长度后的坐标，据此即可求解． 【详解】解：根据题意得的解为， ∴与的交点坐标为， 可以看作是向下平移3个单位长度，可以看作是向下平移3个单位长度， ∴一次函数与的图象的交点坐标是向下平移3个单位长度后的坐标， 故选：A 5．已知直线 与直线交于点，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．把代入求出m得到C点坐标，利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】∵点在直线 上， ∴， 解得， ∴点C的坐标为， ∴方程组  的解是 故选：B． 6．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 7．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【详解】解：根据题意，将代入直线， 得， ∴直线与交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 8．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造全等三角形，求出点坐标，再用待定系数法求直线函数表达式．本题主要考查全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握全等三角形判定找相等线段求点坐标，及待定系数法求函数式是解题关键． 【详解】解：过作轴于，过作轴于． 是含角的直角三角尺，，， ，， 又， ． 在和中， ，， ， ，， ，， ∴． 设直线的解析式为，把，代入得： 两式相减得：，， 把代入得：，， 直线的解析式为， 故选C ． 二、填空题 9．与二元一次方程对应的一次函数表达式是 ，是该方程的一个解，则对应一次函数图象上的一个点为（1， ）． 【答案】 / 3 【分析】本题考查的是一次函数图象与二元一次方程（组）的关系，理解二元一次方程的解对应函数图象上的点的坐标是解答的关键．根据二元一次方程的解是对应一次函数图象上的点的坐标解答即可． 【详解】解：与二元一次方程对应的一次函数表达式是， ∵是该方程的一个解，又当时，， ∴对应一次函数图象上的一个点为， 故答案为：，3． 10．已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题方法． 根据图象可知交点坐标，即为方程组的解． 【详解】解：根据图象可知， 直线和直线交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 11．已知关于的方程组的解是则直线与直线的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】先明确方程组的解与两直线交点坐标的关系，再利用已知方程组的解得出交点坐标．本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，知道方程组的解对应两直线交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组可变形为，方程组的解是， ∴ 直线与直线的交点坐标是． 故答案为： ． 12．已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查由一次函数图象交点坐标求二元一次方程组的解，正确理解一次函数图象的交点横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象相交于点， 则关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 13．已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式．把A、B两点的坐标代入函数解析式，就可得到一个关于k、b的方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得到解析式． 【详解】解：把和代入， 得， 解得， 则此函数的解析式为：． 故答案为：． 14．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解． 【详解】解：方程组可化为：， 即坐标系中直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 故答案为：． 15．如图，已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用． 由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解． 【详解】解：由题可知：一次函数与一次函数的图象相交于点， 又所求方程组，恰为对应的函数组成， 又函数图象的交点即为其对应方程组的解， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 16．如图，直线与直线关于轴对称，已知直线的函数表达式为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称，先将代入，求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，再根据点与点关于轴对称，即可得出答案． 【详解】解：将代入，得：， 直线的函数表达式为， 当时， 解得， 点的坐标为， 直线与直线关于轴对称， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若函数的图象与一次函数的图象的交点为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，画一次函数的图象，坐标与图形面积，熟练地求解一次函数的解析式是解本题的关键． （1）先列表，再描点画图， （2）利用待定系数法求解一次函数的解析式，再联立解析式求出交点坐标；然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表： 1 画图如下： （2）解：∵一次函数的图象经过，两点． ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 联立和函数得 解得： ∴点C的坐标为， 画图如下： ∴的面积． 18．如图，已知点，点，点在轴负半轴上，且，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及三角形面积与点坐标的关系，解题的关键是利用三角形面积公式求出点坐标，再结合待定系数法求直线解析式，最后根据面积求点坐标． （1）先根据、坐标求出长度，再结合三角形面积公式求出长度，确定坐标，最后用待定系数法求直线解析式； （2）设，根据三角形面积公式列出关于纵坐标的方程，求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵，点， ， ， ， ， ∵点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式是， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵的面积为5， 解得或， ∴点的坐标为或． 19．已知一次函数图象经过和两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行列式计算，得出，即可作答． （2）记与轴交于点，得，故，结合三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设此一次函数的解析式为， 把和分别代入， 得， ∴解得， ∴， （2）解：记与轴交于点， ∴令，则， 即， ∴ 的面积， ， ， ． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，点是直线上一点，点D在线段上，且． (1)直接写出： ； (2)求所在直线的解析式； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)直线的解析式为 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点坐标代入直线解析式即可求出a值； （2）利用直线解析式求出点坐标，再利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （3）设点P的坐标为，根据，求出m值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入直线可得：， 解得； 故答案为：4； （2）由一次函数可知当时，；当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由条件可知， 解得 ∴直线的解析式为； （3）存在，或，理由如下： 设点P的坐标为， ∵， 解得或14， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第十七讲 二元一次方程与一次函数 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程与相应一次函数的关系 知识点02：二元一次方程组与一次函数的关系 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 知识点03：用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： (1)设：设出函数表达式为y=kx+b； (2)代：把已知条件代入，得到关于k， b 的方程组； (3)解：解方程组，求出 k， b 的值； (4)写：写出其表达式。 知识点04：在实际问题中求解一次函数的表达式 1. 利用一次函数的表达式解决实际问题的思路 2.一次函数性质的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的性质解决问题. 考点1：求一次函数的解析式 【典型例题】 已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D．6 【变式训练1】 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】 若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 考点2：一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系 【典型例题】 若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象交于点，若将点的坐标看作某个二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 考点3：求直线围成三角形的面积 【典型例题】 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 【变式训练1】 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（    ） A．2 B．或 C． D．2或 【变式训练2】 点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知一次函数的图象与的图象交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的函数图像所对应的一次函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，过点的一次函数图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．已知方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．已知直线 与直线交于点，则方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 6．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．与二元一次方程对应的一次函数表达式是 ，是该方程的一个解，则对应一次函数图象上的一个点为（1， ）． 10．已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 11．已知关于的方程组的解是则直线与直线的交点坐标是 ． 12．已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 13．已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ． 14．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 15．如图，已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的方程组的解是 ． 16．如图，直线与直线关于轴对称，已知直线的函数表达式为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若函数的图象与一次函数的图象的交点为，求的面积． 18．如图，已知点，点，点在轴负半轴上，且，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为5，求点的坐标． 19．已知一次函数图象经过和两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，点是直线上一点，点D在线段上，且． (1)直接写出： ； (2)求所在直线的解析式； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$