专题5.5 三元一次方程组（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题5.5 三元一次方程组（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、三元一次方程组的基本概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，一般形式为 示例： 2. 三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组，需满足： 方程组中共有三个未知数； 每个方程都是一次方程； 整式方程。 示例： 3. 方程组的解 使方程组中所有方程同时成立的三个未知数的值，形式为 二、三元一次方程组的解法 核心思想：消元（三元→二元→一元） 通过代入法或加减法逐步消去未知数，转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。 代入消元法 步骤： 1. 变形：从方程组中选一个方程，用含两个未知数的代数式表示第三个未知数 2. 代入：将变形后的式子代入另外两个方程，消去一个未知数，得到二元一次方程组。 3. 求解：解二元一次方程组，得两个未知数的值。 4. 回代：将求得的值代入变形后的式子，求第三个未知数。 5. 检验：代入原方程组验证解的正确性。 示例： 解方程组 由②代入①得：2y + z = 5 ④ 联立③④解得：y = 1, z = 3，回代②得 x = 2 解为 加减消元法 步骤： 1. 变形：若某未知数系数不相等或不相反，用等式性质乘适当倍数，使系数绝对值相等。 2. 加减： 系数相反时相加（如 3z + (-3z) = 0）； 系数相等时相减（如 2x - 2x = 0）。 3. 求解：解消元后的二元一次方程组，回代求第三个未知数。 示例： 解方程组 ① - ②得 ② + ③得： 联立④⑤解得 解为 消元策略 方程组特征 优先方法 示例 某方程含未知数系数为 ±1 代入消元法 某未知数系数相等或相反 加减消元法 某方程缺少一个未知数 消去该未知数 三、实际应用 步骤： 1. 设元：设三个未知数 2. 列方程组：根据题意找出三个等量关系，列出方程。 3. 求解：选择代入法或加减消元法解方程组。 4. 作答：检验解的合理性，写出答案（含单位）。 示例： 问题：甲、乙、丙三数之和为26，甲比乙大1，甲的2倍与丙的和比乙大18，求这三个数。 解： 设甲为 x，乙为 y，丙为 z，依题意得： 解得 四、易错点 1. 漏乘常数项：用等式性质变形时，需将方程两边所有项都乘同一个数。 例如：将 2. 消元错误：加减时符号出错，如 3. 回代错误：代入变形前的方程导致循环求解。 五、数学思想 1. 消元思想：将多元问题转化为一元问题，体现“化繁为简”的策略。 2. 化归思想：通过消元将三元一次方程组转化为已学的二元一次方程组求解。 3. 整体思想：将含多个未知数的代数式视为整体代入 培优练习 一、选择题 1．解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　） A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③ 2．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（　　） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 5．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款 (　　) A．200元　　　　 B．400元 C．500元　　　　 D．600元 6．利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（　　） A． B． C． D． 7．为迎接2013年“亚青会”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（　　） A．31分 B．33分 C．36分 D．38分 8．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三间客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 二、填空题 9．已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是　 　． 10．若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+c＝d，c+d＝a，a+b=c，那么a+2b+3c+4d的最大值是　 　． 11．为实现新型冠状病毒灭活疫苗量产，某地甲、乙、丙三个生产车间在甲车间投入生产后依次相差两天时间投入生产.当乙车间生产8天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等；当丙车间生产12天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等.若甲、乙、丙三个生产车间每天各自生产的疫苗数量不变，则当丙车间生产的疫苗总数量和乙车间生产的疫苗总数量相同后，再过　 　天，丙车间生产的疫苗总数量比甲车间生产的疫苗总数量多20%. 12．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮.甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成.丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成.这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了　 　朵. 13．在我校举行的小科技创新发明比赛中，共有60人获奖，组委会原计划按照一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人进行奖励.后来经学校研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元，调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多　 　元. 三、解答题 14．解方程组 （1） （2） （3） 15． 一个三位数，各数位上的数字之和是 14， 个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2.求这个三位数. 16．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 17．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ （3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 三元一次方程组（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、三元一次方程组的基本概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，一般形式为 示例： 2. 三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组，需满足： 方程组中共有三个未知数； 每个方程都是一次方程； 整式方程。 示例： 3. 方程组的解 使方程组中所有方程同时成立的三个未知数的值，形式为 二、三元一次方程组的解法 核心思想：消元（三元→二元→一元） 通过代入法或加减法逐步消去未知数，转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。 代入消元法 步骤： 1. 变形：从方程组中选一个方程，用含两个未知数的代数式表示第三个未知数 2. 代入：将变形后的式子代入另外两个方程，消去一个未知数，得到二元一次方程组。 3. 求解：解二元一次方程组，得两个未知数的值。 4. 回代：将求得的值代入变形后的式子，求第三个未知数。 5. 检验：代入原方程组验证解的正确性。 示例： 解方程组 由②代入①得：2y + z = 5 ④ 联立③④解得：y = 1, z = 3，回代②得 x = 2 解为 加减消元法 步骤： 1. 变形：若某未知数系数不相等或不相反，用等式性质乘适当倍数，使系数绝对值相等。 2. 加减： 系数相反时相加（如 3z + (-3z) = 0）； 系数相等时相减（如 2x - 2x = 0）。 3. 求解：解消元后的二元一次方程组，回代求第三个未知数。 示例： 解方程组 ① - ②得 ② + ③得： 联立④⑤解得 解为 消元策略 方程组特征 优先方法 示例 某方程含未知数系数为 ±1 代入消元法 某未知数系数相等或相反 加减消元法 某方程缺少一个未知数 消去该未知数 三、实际应用 步骤： 1. 设元：设三个未知数 2. 列方程组：根据题意找出三个等量关系，列出方程。 3. 求解：选择代入法或加减消元法解方程组。 4. 作答：检验解的合理性，写出答案（含单位）。 示例： 问题：甲、乙、丙三数之和为26，甲比乙大1，甲的2倍与丙的和比乙大18，求这三个数。 解： 设甲为 x，乙为 y，丙为 z，依题意得： 解得 四、易错点 1. 漏乘常数项：用等式性质变形时，需将方程两边所有项都乘同一个数。 例如：将 2. 消元错误：加减时符号出错，如 3. 回代错误：代入变形前的方程导致循环求解。 五、数学思想 1. 消元思想：将多元问题转化为一元问题，体现“化繁为简”的策略。 2. 化归思想：通过消元将三元一次方程组转化为已学的二元一次方程组求解。 3. 整体思想：将含多个未知数的代数式视为整体代入 培优练习 一、选择题 1．解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　） A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③ 【答案】A 【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④， ④和③组成二元一次方程组. 故A符合题意. 故答案为：A. 【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案. 2．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】【解答】解：原式= ∵式中有乘数3的倍数 ∴ ∵不能被3整除 ∴原式中只能有1个3 ∴原式化为 ∴ ∴ ∵是自然数 ∴ 解得 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 故答案为：D． 【分析】将原方程化为，得出，再根据是自然数，求出a、c的值，进而求出答案。 3．某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有20名旅客同时安排游客居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了9间客房，则居住方案（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】【解答】解：设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间， 依题意得： ， 解得：y+2z=11，y=11-2z. ∵x，y，z是正整数， 当z=1时，y=9，x=-1（不符合题意，舍去）； 当z=2时，y=7，x=0（不符合题意，舍去）； 当z=3时，y=5，x=1； 当z=4时，y=3，x=2； 当z=5时，y=1，x=3； 当z=6时，y=-1，x=4；（不符合题意，舍去）， ∴居住方案有3种. 故选C. 【分析】设租一人间x间，租二人间y间，租三人间z间，依题意得： ，然后表示出y与z的关系式，根据x、y、z都为整数即可确定出x、y、z的取值，进而确定居住方案的种类. 4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（　　） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 【答案】D 【解析】【解答】解：铅笔x元一支，练习本y元一本，圆珠笔z元一支，根据题意得 由①×3-②×2得 x+y+z=9. ∴现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需9元. 故答案为：D. 【分析】抓住已知条件： 购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需42元 ，这是两个等量关系，再设铅笔x元一支，练习本y元一本，圆珠笔z元一支，可得到关于x，y，z的方程，解方程可得到x+y+z的值. 5．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款 (　　) A．200元　　　　 B．400元 C．500元　　　　 D．600元 【答案】B 【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各两件应该付款x元、y元、z元， 由题意可得：， ①+②得：5x+5y+5z=1000， ∴x+y+z=200， ∴2x+2y+2z=400， 即购买甲、乙、丙各两件应该付款400元， 故答案为：B. 【分析】根据题意找出等量关系求出，再求出5x+5y+5z=1000，最后计算求解即可。 6．利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm， 由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80， 由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=70， 两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=150， 解得：h=75. 故答案为：B. 【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解. 7．为迎接2013年“亚青会”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（　　） A．31分 B．33分 C．36分 D．38分 【答案】C 【解析】【解答】解：设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，根据题意得： ， 解得：． 则小华的成绩是18+11+7=36（分）． 故选C． 【分析】先设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，再根据小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，列出方程组，求出x，y，z的值，再根据小华所投的飞镖，列出式子，求出结果即可． 8．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三间客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【解析】【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得： ， 解得：y+2z=8， y=8﹣2z， ∵x，y，z是正整数， 当z=1时，y=6，x=1； 当z=2时，y=4，x=2； 当z=3时，y=2，x=3； 当z=4时，y=0，x=4；（不符合题意，舍去） ∴租房方案有3种． 故选：B． 【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组，解方程组可得y+2z=8，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案． 二、填空题 9．已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：将代入中，得， 解方程组可得， ∴a+b+c=2+0+1=3， 故答案为：3. 【分析】把方程组的解代入方程组中可得关于a、b、c的方程组，运用加减消元法解方程组即可. 10．若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+c＝d，c+d＝a，a+b=c，那么a+2b+3c+4d的最大值是　 　． 【答案】-11 【解析】【解答】解：∵b＋c＝d①，c＋d＝a②，a＋b＝c③ 由②＋③，得（a＋b）＋（c＋d）＝a＋c， ∴b＋d＝0④， 由④＋①，得2b＋c＝0， ∴c＝−2b⑤； 由③⑤，得a＝−3b⑥， 将④⑤⑥代入a＋2b＋3c＋4d得a＋2b＋3c＋4d＝−11b， ∵b是正整数，其最小值为1， ∴a＋2b＋3c＋4d的最大值是−11． 故答案为：−11． 【分析】由a＋b＝c，c＋d＝a，可得b＋d＝0，再由b＋c＝d可得2b＋c＝0，进而得出c＝−2b，a＝−3b，代入a＋2b＋3c＋4d＝−11b，已知b是正整数，其最小值为1，于是a＋2b＋3c＋4d＝−11b的最大值是−11． 11．为实现新型冠状病毒灭活疫苗量产，某地甲、乙、丙三个生产车间在甲车间投入生产后依次相差两天时间投入生产.当乙车间生产8天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等；当丙车间生产12天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等.若甲、乙、丙三个生产车间每天各自生产的疫苗数量不变，则当丙车间生产的疫苗总数量和乙车间生产的疫苗总数量相同后，再过　 　天，丙车间生产的疫苗总数量比甲车间生产的疫苗总数量多20%. 【答案】6 【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三人每天分别生产的疫苗数量为x、y、z ∵乙车间生产 天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等，丙车间生产 天时，所生产的疫苗总数量与甲车间生产的疫苗总数量相等 ∴ ∴ ， 设丙车间生产了m天所生产的疫苗总数量和乙车间生产的疫苗总数量相同，再过n天，丙车间生产的疫苗总数量比甲车间生产的疫苗总数量多20% ∵丙车间生产m天所生产的疫苗总数量和乙车间生产的疫苗总数量相同 ∴mz=(m+2)y 即 ∵x≠0 ∴ 解得：m=30 由题意：当丙生产30天后再过n天，丙车间生产的疫苗总数量比甲车间生产的疫苗总数量多20% ∴ 即 ∵x≠0 ∴ 解方程得：n=6 即当丙生产30天后再过6天，丙车间生产的疫苗总数量比甲车间生产的疫苗总数量多20%. 故答案为：6. 【分析】设甲、乙、丙三人每天分别生产的疫苗数量为x、y、z，由题意可得8y=(8+2)x，12z=(12+4)x，表示出y、z，结合mz=(m+2)y可得m的值，由(30+n)z=(1+20%)(30+n+4)x就可求出n的值. 12．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮.甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成.丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成.这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了　 　朵. 【答案】440 【解析】【解答】解：设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个， ， 化简，得 ， （①+②）×4，得 16a+8b+12c＝440， ∵水仙花一共用了：16a+8b+12c， ∴水仙花一共用了440朵， 故答案为：440. 【分析】设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，根据题意，列出方程组，然后根据方程组求出16a+8b+12c，即可求出水仙花一共用了多少朵. 13．在我校举行的小科技创新发明比赛中，共有60人获奖，组委会原计划按照一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人进行奖励.后来经学校研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元，调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多　 　元. 【答案】370 【解析】【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x-80）元，二等奖为（y-50）元，三等奖为（z-30）元. 由题意： ， 整理得： ， ∴ ， ∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多： ， 故答案为：370. 【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x-80）元，二等奖为（y-50）元，三等奖为（z-30）元.构建方程组，求出x-y即可解决问题； 三、解答题 14．解方程组 （1） （2） （3） 【答案】（1）解： ， 得： ，解得： ， 把 代入① ，解得： ， ∴原方程组解为： （2）解： 原方程组可变为 ， 得： ，解得： ， 把 代入①得： ，解得： ， ∴原方程组的解为： （3）解： ， 得： ， 得： ， 把 代入 得： ，解得： ， 把 ， 代入①得： ，解得： ， ∴原方程组的解为： 【解析】【分析】（1）利用加减消元法，用①×2+②消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解； （2）首先将方程组整理成一般形式，然后u利用加减消元法，用①×3+②×2消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解； （3）用③-①求出y的值，再用①×2+②消去z得出关于x、y的方程，进而将y的值代入即可算出x的值，最后将x、y的值代入①方程求出z的值，从而即可求出方程组的解. 15． 一个三位数，各数位上的数字之和是 14， 个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2.求这个三位数. 【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z. 把①代入③得 把 代入①得 代入②得 ④-⑤得 ∴这个三位数为 答：这个三位数是275. 【解析】【分析】设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z，根据“个位上的数字+百位上的数字=十位上的数字；百位上的数字×7=个位数字+十位上的数字+2；个位上的数字+十位上的数字+百位上的数字=14”列方程组解答即可. 16．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 【答案】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是y千米，平路是z千米．依题意得：解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米 【解析】【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解． 17．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ （3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：解得答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：消去z得5x+2y=40，x=，因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，由z是非负整数，解得，，，有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）三种方案的运费分别是：①400×8+600×8=8000（元）；②400×6+500×5+600×5=7900（元）；③400×4+500×10+600×2=7800．（元）答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元． 【解析】【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案． （3）根据三种方案得出运费解答即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$