第四单元 比和按比例分配（解决问题讲义）数学西师大版六年级上册

第四单元 比和按比例分配 1.用归一法解决分配问题： （1）求总份数（比例项相加） （2）每份量＝总量÷总份数 （3）各部分量＝每份量×对应份数 2.用转化法解决分配问题： （1）求总份数 （2）计算各部分占总量的分率 （3）各部分量＝总量×分率 3.用比例方程法解决分配问题： （1）设未知数为比例倍数 （2）列方程求解x （3）计算各部分量 4.分摊运费问题： （1）统一中间量的份数 （2）求出中间量份数的最小公倍数 （3）按倍数同步扩大其他项的份数 –多种方案需列举比较 类型1 按基础比例分配 典型例题1： 花花和彤彤都是集邮爱好者，当她们知道出了新的纪念邮票后一起到邮局购买。花花花了15元，彤彤花了20元，她们一共购买了14张纪念邮票。她们各买到了几张邮票？ 思路分析： 方法1：花花、彤彤拿出钱数的比是___∶___＝___∶___；便可设每份为x张，列出方程求出每 份的张数，再乘对应的份数便可得到答案。 方法2：花花、彤彤拿出钱数的比是___∶___＝___∶___；可求得总份数是___＋___＝___； 14÷总份数可得每份的张数，再乘对应的份数便可得到答案。 方法3：花花、彤彤拿出钱数的比是___∶___＝___∶___；可求得总份数是___＋___＝___； 花花应分的张数：14×＝___；彤彤应分的张数：14×＝___ 答题区： 变式训练： 1.学校的清洁阿姨将清洁剂浓缩液和水按1∶5的比例配制了一瓶540mL的清洁剂稀释液，其中浓缩液和水分别是多少毫升？ 类型2 较复杂的按比例分配问题 典型例题2： 植树节学校举办了植树活动，把栽63棵树的任务按照五年级三个班的人数分配给各班，一班40人，二班42人，三班44人。三个班各应栽多少棵树？ 思路分析： 一班、二班、三班人数的比是___∶___∶___＝___∶___∶___；总份数是___＋___＋___＝___； 一班应栽棵树：63×＝（ ）；二班应栽棵树：63×＝（ ）； 三班应栽棵树：63×＝（ ）。 答题区： 变式训练： 1.“妇好墓”是唯一保存完整的商代王室成员墓葬，出土了大量青铜礼器和武器。若某件礼器重16kg，其中铜、锡、铅的质量比是85∶12∶3，则这件礼器中的铜、锡、铅的质量各为多少千克？ 2.冬冬的妈妈想做芋圆做饭后甜品，她上网查到紫薯、木薯淀粉、糯米粉的比是6∶3∶1，想做500g这种芋圆需要紫薯、木薯淀粉、糯米粉各多少克？ 类型3 分摊运费问题 典型例题3： 甲、乙、丙三人合租一辆小汽车运同样重量的相同货物，从杭州到上海需付运费480元，甲在全程的处卸货，乙在全程的处卸货，只有丙到上海。若按他们所行路程的比分摊运费，他们可以怎样分摊运费？ 思路分析： 方案1按他们所行路程的比分摊： 甲：480×＝（ 元）；乙：480×＝（ 元）；丙：480×＝（ 元）。 方案2先把总运费按4段路程分摊，每段运费再按货主分摊： 每段运费：480×＝120（元） 第1段的运费甲、乙、丙3人分摊，每人付（ ）元， 第2、3段的运费乙、丙2人分摊，每人付（ ）元， 第4段的运费丙1人付（ ）元。 答题区： 变式训练： 1.A、B、C三个工程队共同承包一项工程，总工程款是80万元，A队做了总工时的，B队做了总工时的，只有C队做完全程。三个工程队应该如何分配工程款？ 2.小陈、小孙和小周三人合租一辆出租车，共计付费42元，小陈在全程的处下车，小孙在全程的处下车，小周坐完全程，他们应该怎样分摊费用？ 类型4 逆向思维解决按比例分配问题 典型例题4： 一种药水由药粉和水按6∶100配制而成，要把36千克药粉全部配制成药水，药水共多少千克？ 思路分析： 药粉占6份，质量为36千克，因此每份质量为36 ÷ ___ = ___ ；总份数＝___ ＋___ = ___。 计算总药水质量：总份数×每份质量＝___ × ___ = ___ 。 答题区： 变式训练： 1.配制一种礼品糖，所需奶糖和巧克力的质量比为5∶3。现有奶糖和巧克力各有100千克，那么奶糖全部用完时，巧克力还有剩下吗？如果还有剩下，剩下多少千克？ 2.消毒人员用过氧乙酸消毒时，要按照药液与水的比为1∶200来配置消毒水，现在他准备在50千克水中放入0.3千克的过氧乙酸药液，要使消毒水符合要求，应该要倒入还是倒出药液，要倒入还是倒出多少药液？ 类型5 解决实际生活问题 典型例题5： 用120cm的铁丝做一个长方体的框架用来保护一套书籍，这个长方体的长、宽、高的比是3∶2∶1。要在长方体框架的表面贴上包装纸，至少需要准备多少平方厘米的包装纸？ 思路分析： 由题意可得实际要求的是长方体的表面积，求长方体的表面积需要求得长方体的长、宽、高。 已知长方体的周长为120cm，长、宽、高的比是3∶2∶1， 总份数为3＋2＋1＝____； 但要注意并不是直接用120÷份数求得每份的量，因为长方体的周长等于（长＋宽＋高）×4； 120÷4÷总份数得出每份的量，再分别求出长、宽、高是多少厘米，最后求得长方体的面积。 答题区： 变式训练： 1.A、B两地相距360千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过5小时相遇。已知货车与客车的速度比是4:5，求客车与货车的速度。 2.学校做了120面小旗，其中红旗占总数的，黄旗和蓝旗的面数比为4∶5。实际做了多少面黄旗？ A夯实基础 一、填空题 1.农场养的马与牛一共348头，马与牛的数量比是9∶20，那么马有 ______头。 2.学校把36本科普读物按4∶5分配给六年级的两个班，1班分得 ____本，2班分得___本。 3.一块长方形草坪的周长是28cm，长与宽的比是4∶3，这块长方形草坪的面积是 ______ 。 二、选择题 1.王老师买了篮球和足球共50个，下面各比中，篮球和足球的数量比不可能是（ ）。 A. 1∶1 B. 3∶2 C. 3∶5 D. 13∶12 2.一本数学书，已看了总页数的，剩下的页数与已看的页数的比是（ ）。 A. 3∶5 B. 2∶5 C. 2∶3 D. 4∶5 3.工厂栽松树和梧桐树共48棵，松树和梧桐树的棵树比是5∶3，松树栽了（ ）棵。 A. 20 B. 30 C. 15 D. 25 B培优拔高 1.某种混凝土是黄沙、水泥和石子按4∶3∶5搅拌而成,一个建筑工地需混凝土60吨,需黄 沙、水泥、石子各多少吨？ 2.阳关小学六年级三个班级去蔬菜培育基地进行社会实践活动，把5400棵蔬菜苗按人数分配给六年级三个班。一班42人，二班45人，三班48人，三个班分别应种植蔬菜多少棵？ 3.李叔叔家每月用1600元还房贷，正好占每个月工资的。他将工资剩余的钱按照5∶2∶1分 别用于基本生活开支、定期储蓄和教育学习。李叔叔家每月有多少钱用于教育学习？ C思维拓展 1.甲、乙、丙三人合租公寓，6月份电费共330元。已知甲入住了10天，乙入住了15天。丙 整个月都在住？那么他们可以怎样分摊电费呢？ 2.甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，在距中点20km处相遇。已知甲、乙两车速 度比是4∶5。A、B两地相距多少千米？ 3.小明、小刚、小华三人收集邮票，小明收集的邮票数和小刚收集的邮票数的比是2∶3，小刚 收集的邮票数和小华收集的邮票数的比是4∶7 ，三人共收集82枚，求三人各收集多少枚？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1：3 思路分析：15∶20＝3∶4；15∶20＝3∶4，3＋4＝7； 15∶20＝3∶4，3＋4＝7，14×＝6（张） 14×＝8（张） 答题区： 花花、彤彤拿出钱数的比是15∶20＝3∶4。 方法1： 解：设每份是x张。 3x＋4x＝14 x＝2 花花应分的张数：2×3＝6（张）彤彤应分的张数：2×4＝8（张） 方法2：3＋4＝7（份） 14÷7＝2（张） 花花应分的张数：2×3＝6（张）彤彤应分的张数：2×4＝8（张） 方法3：3＋4＝7（份） 花花应分的张数：14×＝6（张）彤彤应分的张数：14×＝8（张） 变式训练答案： 方法1：540÷（1＋5）＝90（毫升） 浓缩液：1×90＝90（毫升）水：5×90＝450（毫升） 方法2：1＋5＝6（份） 浓缩液：540×＝90（毫升）水：540×＝450（毫升） 解析：方法1利用比得出总份数为1＋5＝6（份），先通过540÷60得出每份的量，再用份数×每份的量便得出结果。方法2同样利用比得出总份数为1＋5＝6（份），那么浓缩液的量等于总量×，水的量等于总量×。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：40∶42∶44＝20∶21∶22；20＋21＋22＝63；63×＝20；63×＝21；63×＝22。 答题区： 40∶42∶44＝20∶21∶22 20＋21＋22＝63 一班应栽棵树：63×＝20（棵）二班应栽棵树：63×＝21（棵）63×＝22（棵） 变式训练答案： 1.85＋12＋3＝100（份） 铜：16×＝13.6（千克）锡：16×＝1.92（千克）铅：16×＝0.48（千克） 解析：根据给出的比例可得总份数为85＋12＋3＝100；总质量为16kg；利用总质量×所占总份数的几分之几即可求得各自的质量；铜的质量为16×；锡的质量为16×；铅的质量为16×。 2.6＋3＋1＝10（份） 紫薯：500×＝300（克）木薯淀粉：500×＝150（克）糯米粉：500×＝50（克） 解析：根据给出的比例可得总份数为6＋3＋1＝10；总质量为500克；利用总质量×所占总份数的几分之几即可求得各自的质量。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析：1 60元 ；3 180元；4 240元；40元 60元 120元 答题区： 方案1：1＋3＋4＝8（份） 甲：480×＝60（元）乙：480×＝180（元）丙：480×＝240（元） 方案2：480×＝120（元） 120÷3＝40（元）120÷2＝60（元） 甲：40元 乙：40＋60＋60＝160（元） 丙：40＋60＋60＋120＝280（元） 变式训练答案： 1.方案1： 2＋3＋5＝10（份） A队：80×＝16（万元）B队：80×＝24（万元）C队：80×＝40（万元） 方案2： 每段工程的费用：80×＝16（万元） A队：（16＋16）×＝≈10.67（万元） B队：（16＋16）×＋16×＝≈18.67（万元） C队：（16＋16）×＋16×＋16＋16＝≈50.67（万元） 解析： 方案1按照所做的工时的比分摊；A队＝80×；B队＝80×； C队＝80×；按照比例计算即可。 方案2先把总工程款按5段分摊，每段工时对应的款项再按照工程队分摊； 每段工程的费用：80×＝16（万元） 第1、2段的工程款分配给三个队伍，每队获得（16＋16）×； 第3段的工程款分配给B、C两对，每队获得16×； 第4、5段只有C队完成，那么C队获得16＋16；每队将每段应得的款项加起来就是最终所得工程款。 2. ＝ 方案1：4＋7＋10＝21（份） 小陈：42×＝8（元）小孙：42×＝14（元）小周：42×＝20（元） 方案2：每段费用为42×＝4.2（元） 小陈：4.2×4×＝5.6（元） 小孙：4.2×4×＋4.2×3×＝11.9（元） 小周：4.2×4×＋4.2×3×＋4.2×3＝24.5（元） 解析：方案1按三人乘坐的里程比分摊，通过通分，三人乘坐的里程比是4∶7∶10，总份数为4＋7＋10＝21；小陈：42×；小孙：42×；小周：42×按照计算解答即可。 方案2：分段计费 每段费用＝42×＝4.2（元） 全程的也就是前面4段，三人均摊，每人4.2×4×； 第5-7段，两人均摊，小孙和小周每人4.2×3×； 第8-10段，只有小周一人乘坐，小周个人均摊4.2×3； 按照这样计算每人各自承担的车费即可。 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：6 6（千克） 6＋100＝106（份） 106×6＝636（千克） 答题区： 36÷6＝6（千克） 6＋100＝106（份） 6×106＝636（千克） 变式训练答案： 1. 100÷5＝20（千克） 20×3＝60（千克） 100－60＝40（千克） 解析：奶糖和巧克力的质量比为5∶3，由此可知奶糖的质量比巧克力多，先求每份质量100÷5＝20（千克）；再用每份的质量×份数＝20×3＝60（千克）得到已用的巧克力数量，注意最后要求的的是剩下的是多少。 2. 50÷200＝0.25（千克）1×0.25＝0.25（千克） 0.3＞0.25 0.3－0.25＝0.05（千克） 答：应该倒出0.05千克的药液。 解析：先检查当前比例，求出每份质量为50÷200＝0.25（千克），按照1∶200的比例，50千克的水应该配0.25千克药液；现在的0.3千克比0.25千克多0.05千克，那么应该倒出0.05千克药液。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：6 答题区： 120÷4＝30（cm） 3＋2＋1＝6（份） 30÷6＝5（cm） 长：5×3＝15（cm）宽：5×2＝10（cm）高：1×5＝5（cm） 长方体的面积：（15×10＋15×5＋10×5）×2＝550（cm2） 变式训练答案： 1. 方法1： 360÷5＝72（千米/时） 4＋5＝9（份） 72÷9＝8（千米/时） 货车速度：4×8＝32（千米/时）客车速度：5×8＝40（千米/时） 方法2： 解：设客车的速度为5x千米/时，则货车的速度为4x千米/时。 （5x＋4x）×5＝360 45x＝360 x＝8 货车速度：4x＝4×8＝32（千米/时）客车速度：5x＝5×8＝40（千米/时） 解析：注意题目中经过5小时相遇，即两辆车共同把总路程走完。方法1中利用总路程÷时间求得两辆车的速度总和，再利用速度比求出每份的速度是多少，最后求出各自的速度。方法2中直接按照比例设未知数，再利用速度×时间＝路程列出方程。 2.红旗数：120×＝30（面） 120－30＝90（面） 4＋5＝9（份） 黄旗：90×＝40（面） 蓝旗：90×＝50（面） 解析：先通过分数乘法求得红旗的数量，用小旗总数减去红旗数就是黄旗和蓝旗的总数，再求得总份数为9，黄旗数等于黄旗和蓝旗的总数×；蓝旗数等于黄旗和蓝旗的总数×。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：108 解析：通过比例得到总份数为29，马的头数＝348×。 2.答案：16 20 解析：通过比例得到总份数为9，一班：36×，二班：36×。 3.答案：48cm2 解析：周长为28cm，长方形周长等于长加宽的和乘2，那么（长＋宽）＝ 28÷2＝14（cm）；总份数为3＋4＝7（份），长＝14×，宽＝14×；最后长乘宽即可，注意 最后要写单位。 二、选择题 1.答案：C 解析：篮球和足球共50，可以通过比例的总份数能否被50整除来排除选项，C选 项的总份数是8，不能被50整除，所以选C选项。 2.答案：C 解析：已看页数为总页数的，那么剩下的为总页数的；剩下的页数与已看的页数 比是∶＝2∶3。 3.答案：B 解析：通过题目的比例5∶3得总份数为5＋3＝8，松树的数量等于48×。 B培优拔高 1.答案： 4＋3＋5＝12（份） 黄沙：60×＝20（吨）水泥：60×＝15（吨）石子：60×＝25（吨） 解析：根据题意的比例可得总份数为4＋3＋5＝12（份）； 黄沙：60×；水泥：60×；石子：60×。 2.答案： 一班人数∶二班人数∶三班人数＝42∶45∶48＝14∶15∶16 总份数14＋15＋16＝45（份） 一班应种蔬菜：5400×＝1680（棵）二班应种蔬菜：5400×＝1800（棵） 三班：5400×＝1920（棵） 解析：按人数分配可得比为42∶45∶48，化简比后更容易计算；求得总份数为14＋15＋16＝45（份）；一班应种蔬菜：5400×；二班应种蔬菜：5400×；三班班应种蔬菜：5400×。 3.答案： 1600÷＝4000（元） 4000－1600＝2400（元） 2400×＝2400×＝300（元） 解析：先利用分数除法求得每个月的工资为4000元；工资剩余部分则为4000－1600＝2400 （元）；剩余的按照比例可得总份数为5＋2＋1＝8（份），其中教育学习占，用2400×计 算即可。 C思维拓展 1.答案： 方案1： 总天数：10＋15＋30＝55（天） 甲：330×＝60（元）乙：330×＝90（元）丙：330×＝180（元） 方案2： 每天的电费：330÷30＝11（元） 甲：11×10×＝≈36.67（元） 乙：11×10×＋11×5×＝≈64.17（元） 丙：11×10×＋11×5×＋15×11≈229.17（元） 解析： 方案1按照入住天数来分摊，三人入住的总天数为10＋15＋30＝55（天）；那么甲的费用 为330×；乙的费用为330×；丙的费用为330×。 方案2：分段计费 平均每天的费用为330÷30＝11（元） 前10天的费用三人均摊，每人：11×10×； 中间5天的费用乙和丙均摊，每人：11×5×； 最后的15天的费用丙一个人均摊：15×11； 将各自应该均摊部分加起来就是应付金额。 2.答案： 解：设甲车走的路程为4x千米，则乙车走的路程为5x千米。 4x＋20＝5x－20 20＋20＝5x－4x x＝40 4x＝4×40＝160 5x＝5×40＝200 160＋200＝360（千米） 解析： 甲、乙两车速度比为4∶5，而两车行驶的时间是相同的，那么两车的路程比也是4∶5； 可以设甲车走的路程为4x，则乙车走的路程为5x；距中点20km处相遇，而甲车速度比乙车 慢，所以甲车走的路程比乙车少；以两者与中点之间的距离去整理等量关系：甲车距离加上 20等于中点距离，乙车距离减去20等于中点距离，借此列出方程解答即可。最后需要注意将 甲车距离加上乙车距离才是两段的距离。 3.答案： 小明∶小刚＝2∶3＝8∶12；小刚∶小华＝4∶7＝12∶21； 那么小明∶小刚∶小华＝8∶12∶21； 8＋12＋21＝41（份） 小明：82×＝16（枚）小刚：82×＝24（枚）小华：82×＝42（枚） 解析： 要求三人各收集的邮票数，需要将比例统一，两个比例都与小刚相关，可以取小刚在两 个比例中的最小公倍数（也就是3和4的最小公倍数12）；通过调整比例得到三人的比例为 小明∶小刚∶小华＝8∶12∶21；总份数为8＋12＋21＝41；接着一个一个去求即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$