精品解析：甘肃省张掖市甘州区甘州中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

2025春学期第三次阶段测试试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 6. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 8. 如图，在中，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 9. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 分解因式：______． 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 13. 如图，已知平行四边形的对角线与交于坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是______． 14. 若，则______． 15. 如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长度是_____． 16. 如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，若AB=8，BC=6，△AOD的周长是16，则△AOB的周长等于_______． 17. 如图，在中，，，垂足为E，若，则______°． 18. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 三、解答题（共88分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）已知与关于原点O成中心对称，请在图中画出． 20. 解下列不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 21. 因式分解 （1） （2） 22. 先化简，再求值：，请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值． 23. 解分式方程： （1）； （2）． 24. 已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 25. 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=． （1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD； （2）求对角线BD的长． 26. 为了迎接“六•一”儿童节．某儿童运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 27. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t(0＜t＜5)． （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？ （2）设四边形OQCD的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025春学期第三次阶段测试试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等， 设给定角为． 若为顶角，则底角度数为． 若为底角，则底角度数为． ∴ 底角为或． 故选：D． 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，原不等式错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴，原不等式错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴，原不等式错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，判断的关键是正确对分式的分子，分母进行因式分解． 5. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，可得： ，即分式的值不变． 故选：A． 6. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①②；（2）两组对边相等③④；（3）一组对边平行且相等①③或②④，所以有四种组合． 【详解】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定； （2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定； （3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定； 共4种组合方法， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 8. 如图，在中，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠ABC的度数，由角平分线的性质求出∠EBC的度数，再根据平行线的性质即可得∠AEB的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D=70°，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的增根问题，掌握分式方程增根的定义是题题的关键． 由题意可得该分式方程的增根为，再把分式方程化成整式方程，然后将代入求得m的值即可． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， 由，则， 把代入，得，即． 故选C． 10. 如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质；由平行四边形的性质及平分，可得是等边三角形，则， 则可判定①；由三角形外角性质得，从而得，由平行四边形的面积可判定②；由E是的中点可判定③；由三角形中位线及可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵平分， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，即点E是的中点， ∴， 故①正确； ∴， ∴， ∴， 平行四边形的面积， 故②正确； ∵E是的中点， ∴是的中线， ∴， 即， 故③正确； 由平行四边形的性质知，O是的中点， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 综上，四个全部正确； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键； 原多项式先提取公因式3，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 13. 如图，已知平行四边形的对角线与交于坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握和运用平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特点． 根据平行四边形的性质，可知点A与点C关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点，即可得点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的对角线与交于坐标原点， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将代入原式中进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：5． 15. 如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长度是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移可知，即可证，则有，问题得解． 【详解】根据平移可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到是解答本题的关键． 16. 如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，若AB=8，BC=6，△AOD的周长是16，则△AOB的周长等于_______． 【答案】18 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到得到对边相等，对角线互相平分，由三角形AOD周长求出OA+OD的长，等量代换得到OA+OB的长，即可确定出三角形AOB周长． 【详解】】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC=6，AB=CD=8，OA=OC，OB=OD， ∵△AOD周长为AD+OA+OD=16， ∴OA+OD=OA+OB=10， ∴△AOB周长为OA+OB+AB=10+8=18． 故答案为：18． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键.平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分. 17. 如图，在中，，，垂足为E，若，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是利用三角形的内角和定理，等边对等角的知识点求有关角的度数，根据平行四边形的性质可得，进而得到，再利用三角形的内角和定理计算出计算出结论即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 18. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 三、解答题（共88分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）已知与关于原点O成中心对称，请在图中画出． 【答案】（1） 解：∵平移，使点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移一个单位长度， ∵， ∴， ∴如下图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）先根据点A平移前后的坐标判断出平移方式进而求出，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数在坐标系中描出A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，关于原点对称的点的坐标特征，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 解下列不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）， 把不等式的解集表示在数轴上为： （2）， 将不等式组的解集表示在数轴上为： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质进行求解． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集；（2）分别解不等式组中的两个不等式，取公共部分得到解集，再在数轴上表示． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 【小问2详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为， 21. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式提取，再利用平方差公式分解即可； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 . 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22. 先化简，再求值：，请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值． 【答案】，-2 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将x＝2代入计算即可求出值； 【详解】解： ∵，故取． 当时， 原式 ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 23. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤尤其不要忘记检验是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得， 经检验是分式方程的解． 【小问2详解】 解： 去分母得，， 整理得， 解得， 当时，， 是增根， 原分式方程无解． 24. 已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 25. 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=． （1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD； （2）求对角线BD的长． 【答案】(1)S□ABCD=2，(2)BD=2 【解析】 【分析】（1）先求出，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可． （2）在中求出，继而可得的长． 【详解】(1) ∵AB⊥AC，∴∠ABC=90° 在中, 则 (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∴AO=1， 在中, 26. 为了迎接“六•一”儿童节．某儿童运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)100；（2）共有11种方案；（3）此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双. 【解析】 【详解】（1）依题意得，， 整理得，3000（m﹣20）=2400m， 解得m=100， 经检验，m=100是原分式方程的解， 所以，m=100； （2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双， 根据题意得，， 解不等式①得，x≥95， 解不等式②得，x≤105， 所以，不等式组的解集是95≤x≤105， ∵x是正整数，105﹣95+1=11， ∴共有11种方案； （3）设总利润为W，则W=60x+16000（95≤x≤105）， 60＞0，W随x的增大而增大， 所以，当x=105时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双. 27. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t(0＜t＜5)． （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？ （2）设四边形OQCD的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形；（2）y＝t＋3；（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）根据ASA证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的性质得出AP＝CQ＝t，则BQ＝5－t，再根据平行四边形的判定定理可知当AP∥BQ，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5－t，求出t的值即可求解； （2）过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G，根据勾股定理求出AC＝4，由Rt△ABC的面积计算可求得AH＝，利用三角形中位线定理可得OG=，再根据四边形OQCD的面积y= S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，代入数值计算即可得y与t之间的函数关系式； （3）如图2，若OE是AP的垂直平分线，可得AE＝AP＝，∠AEO＝90°，根据勾股定理可得AE2＋OE2＝AO2，由(2)知：AO＝2，OE＝，列出关于t的方程，解方程即可求出t的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠PAO＝∠QCO． 又∵∠AOP＝∠COQ， ∴△APO≌△CQO， ∴AP＝CQ＝t． ∵BC＝5， ∴BQ＝5－t． ∵AP∥BQ， 当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， 即t＝5－t， ∴t＝， ∴当t＝时，四边形ABQP是平行四边形； （2）如图1，过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G． 在Rt△ABC中， ∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4， ∴CO＝AC＝2， S△ABC＝AB·AC＝BC·AH， ∴3×4＝5AH， ∴AH＝． ∵AH∥OG，OA＝OC， ∴GH＝CG， ∴OG＝AH＝， ∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG， ∴y＝×2×3＋×t×＝t＋3； （3）存在． 如图2， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴AE＝AP＝，∠AEO＝90°， 由(2)知：AO＝2，OE＝， 由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2， ∴(t)2＋()2＝22， ∴t＝或－(舍去)， ∴当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上． 故答案为（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝t＋3（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查平行四边的判定与性质、勾股定理，三角形全等，解题的关键是掌握相应的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $