第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（常考易错题） 2025-2026学年人教版数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（常考易错题） 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共10题，共30分） 1．方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 2．若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则a的值是（　　） A．4 B． C． D．2 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（　　） A．2 B． C．8 D． 4．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，第三边长（　　） A．1 B．6 C．8 D．9 5．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 6．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（　　） A．-2 B．-1 C．2 D．4 7．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，则这个两位数是（　　） A．24 B．13 C．46 D．35 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出（　　）个小分支. A．9 B．8 C．7 D．6 9．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 10．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．该校八年级共有（　　）个班． A．9 B．10 C．5 D．8 二、填空题（共8题，共24分） 11．方程的解是　 　 ． 12．若是关于的一元二次方程，则的值为　 　. 13．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　 　． 14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　 　． 15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 场比赛，则共有　 　支球队参赛． 16．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 17．进入月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若月第周营业收入为亿元，月第周的营业收入为亿元，设平均每周的增长率为，则可列方程为　 　． 18．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 场比赛，比赛组织者应邀请　 　个队参赛． 三、解答题（共6题，共46分） 19．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 21．某农场打算修建一个如图所示的矩形养鸡场 ， 养鸡场一面靠墙 (墙足够长)， 另外三面用总长为 20 m 的篱笆围成。 （1） 如果养鸡场的面积为 ， 则边 的长为多少? （2）养鸡场的面积能否达到 ? 若能， 求出 的长； 若不能， 请说明理由. 22．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 23．一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤． （1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ 24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（常考易错题） 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共10题，共30分） 1．方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】D 【解析】【解答】解：， 可得：或， 解得：，． 故答案为：D． 【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程求解即可. 2．若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则a的值是（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【解析】【解答】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得：， 故答案为：A． 【分析】根据二次方程有两个相等实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程的两根为，， ，， ， 故答案为：C． 【分析】先一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，再代入求值． 4．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，第三边长（　　） A．1 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】【解答】根据题意，设第三边长为x 三角形两边长分别为5和9 即 解方程： 故选：C 【分析】根据三角形三边的关系，可以确定第三边的取值范围，当解完方程后，发现一个根在取值范围内，另一个根不在，那说明不在取值范围内的这个根组成的三边不能构成三角形，要舍去。 5．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程化为一般形式后为： ∴二次项系数和一次项系数分别为3，-6. 故答案为：C. 【分析】一元二次方程的一般形式为：其中a和b分别为二次项系数和一次项系数，据此即可求解. 6．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（　　） A．-2 B．-1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， ∵a、b、m、n为互不相等的实数， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴. 故答案为：A. 【分析】先把已知条件变形得到，，则可得a，b是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到答案． 7．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，则这个两位数是（　　） A．24 B．13 C．46 D．35 【答案】D 【解析】【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为：x-2， 根据题意，得：x2+(x-2)2=10(x-2）+x-1， 解方程，得：x1=(舍去），x2=5， 所以，这个两位数为：35。 故答案为：D。 【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为：x-2，根据 个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1， 即可得出方程x2+(x-2)2=10(x-2）+x-1，解方程求得x的值x1=(舍去），x2=5，进一步即可求得这个两位数。 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，则每个支干长出（　　）个小分支. A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解：设每个支干长出x根小分支 根据题意可得 解得x= 8或x= -9 (不符合题意，舍去)，.每个支干长出8根小分支 故答案为：B. 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案. 9．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 【分析】 由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程． 10．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．该校八年级共有（　　）个班． A．9 B．10 C．5 D．8 【答案】B 【解析】【解答】解：设该校八年级共有x个班， 由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴该校八年级共有10个班， 故答案为：B. 【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可。 二、填空题（共8题，共24分） 11．方程的解是　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】 移项： 提取公因式： 解得：． 故答案是． 【分析】考查提公因式法解一元二次方程． 12．若是关于的一元二次方程，则的值为　 　. 【答案】3 【解析】【解答】解：由题得，解得m=3 故答案为：3. 【分析】根据一元二次方程的概念可知未知数项最高次是二次，且二次项系数不为零，列不等式组求解。 13．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设另一个根为， ∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】设另一个根为，根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案. 14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：∵x1和x2为一元二次方程的两个实数根， ∴x1+x2-x1x2=--=2. 故答案为：2. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可。 15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 场比赛，则共有　 　支球队参赛． 【答案】8 【解析】【解答】设有 支球队参赛，则有： ， 解得： ， （舍）， ∴有 个球队参赛． 【分析】赛制为单循环形式，x个球队比赛总场数=，列方程求解即可。 16．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长即可. 17．进入月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若月第周营业收入为亿元，月第周的营业收入为亿元，设平均每周的增长率为，则可列方程为　 　． 【答案】1.3（1+x）2=2 【解析】【解答】解：设平均每周的增长率为x， 依题意得：1.3（1+x）2=2， 故答案为：1.3（1+x）2=2. 【分析】设平均每周的增长率为x，利用7月第3周的营业收入=7月第1周营业收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程． 18．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 场比赛，比赛组织者应邀请　 　个队参赛． 【答案】8 【解析】【解答】根据分析可列出方程： ＝28， 解得：x1＝8，x2＝－7（舍去）， 故答案为：8. 【分析】抓住已知条件：参赛的每两个队之间都要比赛一场（单循环），利用一共比赛的场数=28，设未知数列方程，求解即可。 三、解答题（共6题，共46分） 19．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）解：； ， ， （2）解：； ， ， ， （3）解：； ， 原方程无实数根 （4）解：， ， ， ， 【解析】【分析】针对不同类型的一元二次方程，选择合适的方法求解即可， （1）选择因式分解法，提出公因式，然后求解即可； （2）移项后提出公因式，选择因式分解法求解； （3）首先根据根的判别式小于零，确定一元二次方程的根的个数； （4）利用公式法，确定a，b，c，然后利用求根式求解即可. 20．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】（1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． ​ 【解析】【分析】（1）首先求出根的判别式，并利用配方法进行变形，可得出，根据偶次方的非负性，可得出，即可得出结论； （2）利用根与系数的关系找出，，再把y进行适当变形为：，然后再整体代入，即可求出y与的函数关系式为：． （1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 21．某农场打算修建一个如图所示的矩形养鸡场 ， 养鸡场一面靠墙 (墙足够长)， 另外三面用总长为 20 m 的篱笆围成。 （1） 如果养鸡场的面积为 ， 则边 的长为多少? （2）养鸡场的面积能否达到 ? 若能， 求出 的长； 若不能， 请说明理由. 【答案】（1）解： 设 ， 则 ， 由题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 答： 当 长度是 4 m 或 6 m 时， 养鸡场的面积为 . （2）解：由题意得： ， 整理得： ， 方程没有实数根， 养鸡场的面积不能达到 . 【解析】【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据养鸡场的面积为48m2，列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据养鸡场的面积能达到51m2，列出一元二次方程，再由根的判别式 Δ＝-8＜0，得原方程没有实数根，即可得到答案． 22．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【答案】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 【解析】【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，然后根据 第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病，可得方程，解方程并进行检验，取适合题意的解即可； （2）由（1）可知，每头发病生猪平均每天传染13头生猪．可得出 3天后生猪发病头数为：196+196×13=2744（头），通过比较大小，即可得出结论。 （1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染15头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 23．一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤． （1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）解：∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤， ∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量为：（100+200x）斤． （2）解：由题意列方程得： ， 解得：，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：水果店需将每斤的售价降低1元． 【解析】【分析】（1）根据每天的销售量=降价前的销售量+降价后增加的量即可用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）根据每天销售“官地洼”甜瓜获得的利润＝每斤的利润×每天的销售量可列关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要每天至少售出280斤即可求解． （1）∵以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤， ∴当将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元时，每天的销售量是斤． （2）依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：水果店需将每斤的售价降低1元． 24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 由题意可得， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， （舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个． 【解析】【解答】（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 由题意可得， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， （舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个． 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，进而根据“某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”即可即可列出一元二次方程，从而即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据题意列出一元二次方程，从而即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$