章末检测试卷1 (第1章 直线与圆)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 高中数学第一章直线与圆单元卷，120分钟150分，覆盖直线方程、圆的性质及位置关系，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|直线倾斜角（1题）、垂直平行（2题）、圆的弦长（4题）|基础巩固，注重概念理解| |多项选择题|3/18|等腰直角三角形坐标（9题）、圆与圆位置关系（10题）、阿波罗尼斯圆（11题）|能力提升，渗透创新意识| |填空题|3/15|直线交点（12题）、切线条件（13题）、圆相切（14题）|强化计算，体现空间观念| |解答题|5/77|公共弦方程（15题）、隧道截面应用（17题）、存在性问题（18题）|综合应用，培养模型意识与推理能力|

章末检测试卷一(第一章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线x＋y＝0的倾斜角为(　　) A.45° B.60° C.90° D.135° 答案　D 解析　设所求倾斜角为α，因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°. 2.过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为(　　) A.2x－y＋2＝0 B.x＋2y＋2＝0 C.2x－y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 答案　C 解析　设该直线方程为2x－y＋m＝0， 由于点(0，－2)在该直线上， 则2×0＋2＋m＝0，解得m＝－2， 所以该直线方程为2x－y－2＝0. 3.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　) A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0 C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0 答案　A 解析　设所求直线上任意一点(x，y)， 则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)， 因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上， 所以3x＋4y＋5＝0即为所求直线方程. 4.直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意，得圆心为(－1，0)，半径r＝，弦心距d＝， 所以所求的弦长为2＝2. 5.若点P(1，1)为圆A：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　) A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0 答案　D 解析　由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3，0).因为点P(1，1)为弦MN的中点， 所以AP⊥MN. 又AP的斜率k＝＝－， 所以直线MN的斜率为2， 所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 6.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.2 答案　A 解析　由题意知两条直线平行，所以n＝－2. 由两条平行直线间的距离公式， 得d＝， 解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0. 7.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意，知点M的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l， 故其方程为x＋y－6＝0， 所以点M到原点的距离的最小值d＝＝3. 8.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A.5－4 B.－1 C.6－2 D. 答案　A 解析　由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2，3)，C2(3，4)，半径分别为r1＝1，r2＝3，且|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，设点C1(2，3)关于x轴的对称点为C，则C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5－4. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A.(2，0) B.(6，4) C.(4，6) D.(0，2) 答案　AC 解析　设点B坐标为(x，y)， 根据题意知 则 解得或 10.已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　) A.(x－4)2＋(y－6)2＝6 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6 C.(x－4)2＋(y－6)2＝36 D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36 答案　CD 解析　∵半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36. 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，点A(－2，0)，B(4，0)，点P满足，点P的轨迹为C，下列结论正确的是(　　) A.曲线C的方程为(x＋4)2＋y2＝16 B.在曲线C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| C.在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 D.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 答案　ACD 解析　对于A，设P(x，y)，A(－2，0)，B(4，0)， 由可得|PB|＝2|PA|， 所以＝2， 整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A正确； 对于B，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得|MO|2＝4|MA|2， 即＝4[(x0＋2)2＋]， 整理得3＋3＋16x0＋16＝0， ① 又因为点M(x0，y0)在曲线x2＋y2＋8x＝0上，所以＋8x0＝0， ② ①－②×3得16－8x0＝0，解得x0＝2，将x0＝2代入＋8x0＝0得＋20＝0，无实解，即在曲线C上不存在点M满足|MO|＝2|MA|，故B不正确； 对于C，假设在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得， 设D(m，0)，E(n，0)，由可得|PE|＝2|PD|， 即＝2， 化简可得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0， 由点P的轨迹为x2＋y2＋8x＝0可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即在x轴上存在D(－6，0)，E(－12，0)，使得，故C正确； 对于D，当A，B，P三点不共线时，由， 可得射线PO是∠APB的平分线，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知点A(0，－1)，点B在直线x－y＋2＝0上，若直线AB平行于直线x＋2y－3＝0，则点B坐标为　　　　. 答案　(－2，0) 解析　因为直线AB平行于直线x＋2y－3＝0， 所以设直线AB的方程为x＋2y＋m＝0(m≠－3)， 又点A(0，－1)在直线AB上， 所以0＋2×(－1)＋m＝0，解得m＝2， 所以直线AB的方程为x＋2y＋2＝0， 联立两直线方程 解得故点B坐标为(－2，0). 13.过点(1，2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是　　　　. 答案　(3，7) 解析　把圆的方程化为标准方程得 (x＋1)2＋(y－2)2＝7－k， ∴圆心坐标为(－1，2)，半径r＝， 则点(1，2)到圆心的距离d＝2. 由题意，可知点(1，2)在圆外，∴d>r， 即<2，且7－k>0， 解得3<k<7，则实数k的取值范围是(3，7). 14.集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是　　　　　. 答案　3或7 解析　∵A∩B中有且仅有一个元素， ∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切. 当两圆内切时，由＝|2－r|，解得r＝7； 当两圆外切时，由＝2＋r，解得r＝3. ∴r＝3或r＝7. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程. 解　设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)， 所以r2＝4， 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 16.(15分)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－. (1)求直线l的方程；(6分) (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.(9分) 解　(1)由直线方程的点斜式， 得y－5＝－(x＋2)， 整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)， 由点到直线的距离公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 17.(15分)如图，已知某隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4 m，高4 m.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.(参考数据：≈3.74) 解　如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A(2，0)，B(0，4)， 由|MA|＝|MB|得， m＝－，则圆的方程为x2＋， 所以当x＝2.5时，y＝≈3.24<3.5. 即一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道. 18.(17分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解　假设存在斜率为1的直线l，满足题意， 设直线l的方程为y＝x＋b， 其与圆C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消元得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 则Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)>0， 解得－3－3<b<－3＋3， 则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝. 因为以AB为直径的圆过原点O， 所以OA⊥OB， 所以·＝x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0， 即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0， 所以b2＋3b－4＝0， 解得b＝－4或b＝1，满足题意. 所以存在这样的直线l，方程为y＝x－4或y＝x＋1. 19.(17分)已知直线l过定点P(2，1)，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝. (1)求直线l的倾斜角α的值；(8分) (2)若以C(4，3)为圆心的圆与直线l相切，求圆C的半径r.(9分) 解　(1)因为直线l过定点P(2，1)，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点， 所以直线l的斜率k存在且k<0，倾斜角α∈. 可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1， 分别令y＝0，x＝0， 可得A，B(0，－2k＋1)， 所以|PA|＝，|PB|＝， 则|PA|·|PB|＝· ＝2， 解得k2＝3或k2＝， 因为k<0，所以k＝－或k＝－. 因为倾斜角α∈， 所以直线l的倾斜角α＝或α＝. (2)若k＝－， 则直线l的方程为x＋y－2－1＝0， 因为以C(4，3)为圆心的圆与直线l相切，故半径r＝＋1. 若k＝－， 则直线l的方程为x＋y－－1＝0， 即x＋3y－2－3＝0. 因为以C(4，3)为圆心的圆与直线l相切， 故半径r＝＋1. 综上，圆C的半径r为＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $