课时作业21 空间向量运算的坐标表示及应用（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十一)　空间向量运算的坐标表示及应用 [基础达标练] 1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　) A．(2，－4，2)　　　　　　B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 答案：A 2．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是(　　) A． B． C． D． 答案：A 3．已知A(3，3，3)，B(6，6，6)，O为原点，则与的夹角是(　　) A．0 B．π C．π D．2π 解析：选B　因为·＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且||＝3，||＝6，所以cos 〈，〉＝＝1，因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝0.所以〈，〉＝π. 4．已知a＝(2，0，3)，b＝(4，－2，1)，c＝(－2，x，2)，若(a－b)⊥c，则x等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选B　∵a－b＝(－2，2，2)， 又(a－b)⊥c， ∴(a－b)·c＝0，即4＋2x＋4＝0， ∴x＝－4. 5．已知＝(1，1，－2)，＝(0，2，3)，则＝________，||＝________． 解析：＝－＝(0，2，3)－(1，1，－2)＝(－1，1，5)，||＝ ＝3. 答案：(－1，1，5)；3 6．已知向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a∥b，则m＝________． 解析：∵向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a∥b， ∴＝＝，解得m＝－4. 答案：4 7．已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h， 由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)， B1(，0，h)，C1(0，1，h)，则＝(，1，h)， ＝(－，1，h)， 因为AB1⊥BC1， 所以·＝－3＋1＋h2＝0， 所以h＝. (2)由(1)可知＝(，1，)， ＝(－，1，0)， 所以·＝－3＋1＝－2. 因为||＝，||＝2， 所以cos 〈，〉＝＝－. 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 8．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求||取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的||. 解：由空间两点间的距离公式得 ||＝ ＝ ＝ ， 当x＝时，||有最小值为. 此时A，B. [能力提升练] 9．(多选)若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则(　　) A．cos 〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 解析：选AD　∵向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a，b〉＝＝＝－.由上知B不正确，A、D正确．C显然也不正确． 10．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D　因为a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y使c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，所以解得所以λ＝3x－2y＝. 11．已知空间三点A(0，2，3)，B(2，5，2)，C(－2，3，6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________． 解析：＝(2，3，－1)，＝(－2，1，3). ∴·＝－4＋3－3＝－4， ||＝＝， ||＝＝. ∴cos ∠BAC＝＝＝－. ∴sin ∠BAC＝ ＝. ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积 S＝||·||·sin∠BAC＝××＝6. 答案：6 12．已知a＝(x，－2，3)，b＝(3，1－x，x)，且a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围是________． 解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b＞0， 即3x－2(1－x)＋3x＝8x－2＞0，则x＞. 又当夹角为0°时，存在λ＞0，使b＝λa， 所以 因此实数x的取值范围为∪(3，＋∞)． 答案：∪(3，＋∞) 13． 如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°. (1)求向量的坐标； (2)设向量和的夹角为θ，求cos θ的值． 解析：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝，所以DE＝CD sin 30°＝. OE＝OB－BD·cos 60°＝1－＝. 所以D点坐标为， 即向量的坐标为. (2)依题意：＝，＝(0，－1，0)，＝(0，1，0)，所以＝－＝.＝－＝(0，2，0). 由于向量和的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝＝－. 所以cos θ＝－. [素养拓展练] 14．如图所示，在棱长为a的正方体OABC O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz. (1)写出点E，F的坐标； (2)求证：A1F⊥C1E； (3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋. 解：(1)E(a，x，0)，F(a－x，a，0). (2)证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a). ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0， ∴⊥，∴A1F⊥C1E. (3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面， ∴，，共面． 选与为一组基向量，则存在唯一实数对λ1，λ2，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴解得 ∴＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$