课时作业18 空间直角坐标系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十八)　空间直角坐标系 [基础达标练] 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为(　　) A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2，4) C．(1，2，－4) D．(1，2，4) 解析：选A　关于y轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 2．已知空间两点A(3，3，1)，B(－1，1，5)，则线段AB的长度为(　　) A．6　　　　　　　　B．2 C．4 D．2 解析：选A　空间两点A(3，3，1)，B(－1，1，5)，则线段AB的长度为|AB|＝＝6. 3．在空间直角坐标系中，点(1，2，3)与点(－1，2，3)(　) A．关于xOy平面对称 B．关于zOx平面对称 C．关于yOz平面对称 D．关于x轴对称 解析：选C　空间中的两个点(1，2，3)和(－1，2，3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称． 4．在长方体ABCDA1B1 C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线AC1的长为(　　) A．9 B． C．5 D．2 解析：选B　由已知，可得C1(0，2，3)， ∴|AC1|＝＝. 5．已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 解析：点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在yOz平面上的射影分别为A′(0，5，－7)，B′(0，4，3)， ∴线段AB在yOz平面上的射影长 |A′B′|＝＝. 答案： 6．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是____________． 解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y，0).由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1，0). 答案：(0，－1，0) 7．如图已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，|PA|＝|PB|＝2，|PC|＝1，E为AB的中点．试建立空间直角坐标系并写出点P，A，B，C，E的坐标． 解： 以P点为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，1)，E(1，1，0). 8．直三棱柱ABCA1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长． 解：如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Cxyz. ∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2， ∴N(1，0，1)，M， 由两点间距离公式得 |MN|＝ ＝. [能力提升练] 9．(多选)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 解析：选ACD　根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确；B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，选项B错误；在长方体中|AD1|＝|BC1|＝＝5＝|AB|，所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确；点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确． 10．(多选)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　) A．(0，1，－1) B．(0，－1，4) C．(0.1，－6) D．(0，2，10) 解析：选BC　设C点(0，y，z)，依题意得12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2化简得5y＋z＋1＝0，即B，C坐标适合，故选BC. 11．已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是xOy平面内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是________． 解析：设点B(x，1－x，0)，则A，B两点间距离为 d＝ ＝ ＝ ≥.即A，B两点间的最短距离是. 答案： 12．如图，正方体AOCDA′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________． 解析：因为D(2，－2，0)，C′(0，－2，2)， 所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2，1)， 所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1). 答案：(－1，－2，－1) 13．已知点A(1，1，0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由． 解：如图，若PA⊥AB成立，则AB⊥平面POA， 所以AB⊥OA，设B(0，y，0)， 则有OA＝，|OB|＝y， |AB|＝. 由OB2＝OA2＋AB2，得y2＝2＋1＋(y－1)2，解得y＝2，所以存在这样的点B，当点B为(0，2，0)时，PA⊥AB成立． [素养拓展练] 14．如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上． (1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|； (2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值． 解：由题意，知B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 故BD1的中点P.由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为(0，1，a)，(0≤a≤1). (1)由2|C1Q|＝|QC|，易知|QC|＝，故Q. 从而|PQ| ＝ ＝. (2)由题意，知|PQ|＝＝(0≤a≤1). 当a＝时，＋取得最小值． 从而|PQ|min＝，此时Q. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$