1空间直角坐标系（9大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

1空间直角坐标系 题型一：空间中点坐标 1．在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得. 【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是. 故选：B 2．在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据中点坐标公式即可得结果. 【详解】设点关于点的对称点坐标， 由中点坐标公式可得，解得，即， 故选：B. 3．在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案. 【详解】设， 因为与的中点相同，所以， 解得，所以. 故选：A. 4．若点在空间直角坐标平面yOz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称求解，即可由中点坐标公式求解. 【详解】由于题意可得,所以A，B两点的中点坐标， 故选：B 题型二：空间点的对称关系 1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的定义，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的特征，可得点关于x轴对称的点坐标是. 故选：A. 2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为． 故选：B． 3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可． 【详解】由题意得，点的纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，则. 故选：A. 4．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可知点关于平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案． 【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点关于平面的对称点是. 故选：A. 5．（多选）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A．点关于原点对称的点是 B．点关于轴对称的点是 C．点关于平面，对称的点是 D．点关于点对称的点是 【答案】AC 【分析】利用点关于原点的对称点的特点可判断A的正误；根据点关于坐标轴对称点的特点可判断B的正误；利用点关于坐标平面对称点的特点可判断C的正误；利用点关于点对称的特点可判断D. 【详解】空间直角坐标系中，点. 对于A，点关于于原点对称的点的坐标是，A正确； 对于B，点关于轴对称的点的坐标是，B错误； 对于C，点关于平面对称点的坐标是，C正确； 对于D，点关于点对称点的坐标是，D错误； 综上知，正确的选项是AC. 故选：AC. 题型三：空间点到坐标平面的距离 1．在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系即可得结果. 【详解】由题意可知：点A到平面xOy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，点到坐标平面和的距离分别为（ ） A．3，4 B．4，7 C．3，7 D．5，7 【答案】C 【分析】根据轴平面轴平面即可求解. 【详解】因为轴平面轴平面， 所以点到坐标平面和的距离分别为3，7． 故选：C. 3．在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由题意点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于其纵坐标与横坐标的比的绝对值. 【详解】由题意点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于. 故选：B. 4．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ） A．点关于坐标原点对称点的坐标为 B．点关于平面对称点的坐标为 C．点在平面上的射影点的坐标为 D．点在轴上的射影点的坐标为 【答案】D 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性特征可判断. 【详解】对于选项A：点关于坐标原点对称点的坐标为，故A正确； 对于选项B：点关于平面对称点的坐标为，故B正确； 对于选项C：点在平面上的射影点的坐标为，故C正确； 对于选项D：点在轴上的射影点的坐标为，故D错误； 故选：D. 题型四：空间直角坐标系的建立 1．如图，在长方体中，.以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出坐标. 【详解】因为，，， 所以，， 因为点在平面上的射影是，点的横坐标、纵坐标和点的横坐标、纵坐标相同， 又点在轴上的射影是，它的竖坐标与点的竖坐标相同， 所以点的坐标为. 故选：A. 2．如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 3．在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标. 【详解】点A的坐标为. 故选：D 4．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为（ ） A．（，，1） B．（，2，） C．（，1，1） D．（，0，1） 【答案】C 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量相等的充要条件的应用及空间直角坐标系的应用求出结果. 【详解】三棱柱ABC-A1B1C1中,因为侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，所以为等边三角形，所以，.又因为AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，所以，所以点，点，点，设点，，，因为，所以，解得，，，故点的坐标为. 故选：C. 5．如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标； （2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）如图，由题意可知， 因，则. （2）为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 题型五：空间中两点之间的距离 1．在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间两点间距离公式计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为. 故选：C. 2．设，，，则的中点M到点C的距离（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间两点间距离公式计算． 【详解】由已知中点为，. 故选：C． 3．从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由模长关系可知，再根据坐标运算求解即可. 【详解】设点，又， 则， 所以， 所以点的坐标为， 故选：B. 4．已知空间中两点，，且，则实数x的值是（ ） A． B．或6 C． D．或2 【答案】B 【分析】利用两点距离公式列方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得或6. 故选：B 5．已知空间三点，则的面积为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据空间两点间距离公式得出的三边长；再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由空间三点可得： ； ； ， 所以是等边三角形， 所以的面积为. 故选：B. 题型一：空间中两点坐标距离的最值 1．已知空间点,则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，时，的最小值为，，故选C. 2．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把点到直线的距离转化为空间中两点间的距离，再利用函数的性质求最值． 【详解】由已知可设点， 当与平面内的直线垂直时，最小，， 因为点在平面内的直线上，所以位该直线的一个方向向量， 当最小时，， 即， 此时 所以当时，取最小值，此时点. 故选：C． 3．在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是________________. 【答案】2 【分析】利用空间距离公式及二次函数知识求解. 【详解】已知， 当时，等号成立.所以的最小值是2. 故答案为：2. 4．空间点，，，若，则的最小值为______________. 【答案】2 【分析】确定点A是以O为球心，半径为1的球面上的点，求出，结合的几何意义即可求得答案. 【详解】由题意空间点，，， 即点A是以O为球心，半径为1的球面上的点， 又，则， 故的最小值为， 当且仅当三点共线，且A在之间时取最小值， 故答案为：2 题型二：空间中建系求距离的最值 1．如图，正四面体中，为的中点，点在上，且，则两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题根据正四面体的几何性质选出一组基底，通过线性运算表示出所求向量，根据数量积运算，可得答案. 【详解】设，，，， ， 为中点，，． ， 根据题意知道，同理，代入上面式子， . 故选：C． 2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，，PA⊥平面ABCD，动点M、N分别在线段BD和PC上，则线段MN长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，再求长度最小值即得． 【详解】 如图建立空间直角坐标系，底面ABCD是正方形，， 设， 当时，， 故选：A. 3．如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标应用两点间距离，再结合单调性得出最值即可判断选项. 【详解】 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，设， 则， 则单调递减，单调递增， 所以时，最小值为，时，最大值为，所以. 故选:B. 4．已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为__________________． 【答案】 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 题型一：空间中线段和的最值 1．如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案. 【详解】因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又四边形是正方形，所以⊥， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 过点分别为⊥，⊥于点， 则⊥平面，⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 则，， ，其中， 故要想取得最小值，则，即只需点在上， 其中关于直线的对称点为， 连接，此时取得最小值，最小值为， 其中. 故选：A 2．正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，先根据题目条件得出点、点和点三点共线，进而设出点，的坐标；再借助二次函数得出当时，的最小值为；最后再根据点的轨迹和的几何意义即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则由题意可得，,，. 因为点满足，， 所以点、点和点三点共线. 设，， 则，， 所以 则. 令，则该函数可以看做是关于t的二次函数， 则当时，函数有最小值，为. 所以要使最小，可先取，此时，其几何意义是点在平面上的射影点到点的距离. 又因为， 所以点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 则射影点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及其内部. 所以 又因为， 所以 故答案为：. 3．如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为，线段长度的最小值为___________． 【答案】抛物线 【分析】根据抛物线的定义得出点轨迹，建立空间直角坐标系后由空间两点间距离公式计算． 【详解】因为平面平面，平面平面，而平面， 所以到直线的距离就是到平面的距离， 由到平面的距离等于线段的长度，可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 建立如图所示的空间直角坐标系（的中点为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴）， ，，， 点的轨迹方程是， ， 所以时，， 故答案为：抛物线；． 4．如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为_______________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算线段长，根据点的位置作和的展开图，问题转化为求的长，利用余弦定理分析特征即可得到结果. 【详解】由题意得，为等腰直角三角形，. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，， ∴，. 如图，作和的展开图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长. 在中，由余弦定理得，， 由得，， ∵，∴， ∴，即的最小值为. 故答案为：. 5．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为________________. 【答案】/ 【分析】找到点关于底面对称点，可得，结合不等式可得为的最小值，建立适当空间直角坐标系后借助两点间的距离公式计算即可得. 【详解】设的中心为，则底面，延长至， 使得，则， 由三条侧棱两两垂直且相等， 故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，则、，, 有， 由对称性可设，则有， 解得，故， ， 的最小值为. 故答案为：. 题型二：三元方程及其图形 1．点的坐标满足，点，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求得点P在以O为球心1为半径的球面上，然后利用球的性质求得最小距离. 【详解】在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面， 由于，故点A在球外， 所以当O，P，A三点共线时，最小， 此时. 故选：B 2．若，则的最小值为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用空间中两点之间的距离公式，将代数问题转化为几何问题，从而使得问题得以解决. 【详解】题干中代数式的几何意义是空间中任意一点分别到点、、，的距离之和，如图所示，四边形是一个矩形， 易知， 当点位于矩形的中心时，其距离之和最小， 且最小值为矩形的对角线长之和，而， 所以代数式的最小值为. 故选：C 3．点的坐标满足，点，则的最小值是，的最大值是________. 【答案】35 【分析】先求得点P的轨迹，进而求得的最小值和最大值. 【详解】因为在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面， ， 所以， 故答案为：3；5 4．对于任意实数x，y，z，的最小值为_____________. 【答案】 【分析】设，记点及，则所求式子的几何意义为，然后根据三点共线时距离最短求解. 【详解】结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式， 可得表示的几何意义是空间内任意一点与原点及定点，的距离之和， 显然，当三点共线且在线段上时，最小， 最小值为. 故答案为： 5．已知实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值. 【详解】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 设为空间任意一点，因为，则P在平面所在的平面内运动， 表示P与点和点的距离之和， 因为关于平面的对称点为D，故， 当且仅当为中点即为正方体中心时等号成立； 表示P与点和点的距离之和，则， 当且仅当在所在直线上时等号成立， 故 的最小值为，当且仅当为正方体中心时等号成立 故答案为： 5 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1空间直角坐标系 题型一：空间中点坐标 1．在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．若点在空间直角坐标平面yOz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 题型二：空间点的对称关系 1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A．点关于原点对称的点是 B．点关于轴对称的点是 C．点关于平面，对称的点是 D．点关于点对称的点是 题型三：空间点到坐标平面的距离 1．在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 2．在空间直角坐标系中，点到坐标平面和的距离分别为（ ） A．3，4 B．4，7 C．3，7 D．5，7 3．在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ） A． B． C．2 D．4 4．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ） A．点关于坐标原点对称点的坐标为 B．点关于平面对称点的坐标为 C．点在平面上的射影点的坐标为 D．点在轴上的射影点的坐标为 题型四：空间直角坐标系的建立 1．如图，在长方体中，.以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 4．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为（ ） A．（，，1） B．（，2，） C．（，1，1） D．（，0，1） 5．如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 题型五：空间中两点之间的距离 1．在空间直角坐标系中，，则A，B两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 2．设，，，则的中点M到点C的距离（ ） A． B． C． D． 3．从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知空间中两点，，且，则实数x的值是（ ） A． B．或6 C． D．或2 5．已知空间三点，则的面积为（ ） A． B． C．7 D． 题型一：空间中两点坐标距离的最值 1．已知空间点,则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是________________. 4．空间点，，，若，则的最小值为______________. 题型二：空间中建系求距离的最值 1．如图，正四面体中，为的中点，点在上，且，则两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，，PA⊥平面ABCD，动点M、N分别在线段BD和PC上，则线段MN长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为__________________． 题型一：空间中线段和的最值 1．如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为_____________. 3．如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为，线段长度的最小值为___________． 4．如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为_______________. 5．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为________________. 题型二：三元方程及其图形 1．点的坐标满足，点，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，则的最小值为（ ） A． B．3 C． D．4 3．点的坐标满足，点，则的最小值是，的最大值是________. 4．对于任意实数x，y，z，的最小值为_____________. 5．已知实数，满足，则的最小值为__________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $