课时作业15 抛物线的简单几何性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十五)　抛物线的简单几何性质 [基础达标练] 1．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为(　　) A．1　　　　　　　　B．2 C．4 D．8 答案：B 2．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝6x D．y2＝－6x 解析：选C　∵抛物线的焦点为， ∴p＝3，且抛物线开口向右． ∴抛物线的标准方程为y2＝6x. 3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选D　∵y2＝4x，∴F(1，0). 又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴， ∴P(1，2).将点P(1，2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2. 故选D. 4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为(　　) A．5 B．10 C．20 D． 解析：由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B. 5．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|＝________． 解析：由于点P到x轴的距离为12， 可知点P的纵坐标为12， ∴点P的横坐标x＝＝＝9. 由抛物线的定义知|PF|＝x＋＝9＋4＝13. 答案：13 6．若抛物线y2＝2px(p＞o)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________． 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为， 椭圆＋＝1的焦点坐标(±，0). 由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8. 答案：8 7．如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程． 解：过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则|BF|＝|BD|， 又2|BF|＝|BC|， ∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又|AF|＝3， ∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3. ∴F到准线的距离p＝|FC|＝. ∴y2＝3x. 8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝， 所以x＋＝17， 所以x＝8，代入方程x＝2py0得， 8＝2p， 解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. [能力提升练] 9．(多选)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　) A．y2＝－4x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：选BD　抛物线焦点坐标为，直线l的方程为y＝2.令x＝0，得y＝－，故△OAF的面积为S＝·＝＝4，故a＝±8.故选BD. 10．设F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，当＋＋＝0，且||＋||＋||＝3时，此抛物线的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ∵＋＋＝0， ∴＋＋＝0， 即x1＋x2＋x3＝p.又||＋||＋||＝3， ∴＋＋＝3，即3p＝3， ∴p＝1，故抛物线方程为y2＝2x. 11．已知抛物线y2＝mx的焦点F为(2，0)，则m＝__________，若点P在抛物线上，点A(5，3)，则|PA|＋|PF|的最小值为______． 解析：抛物线y2＝mx的焦点F为(2，0)， 可得＝2，即m＝8， 则抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2， 过P作直线x＝－2的垂线，垂足为C， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PC|≥|AC|， 当A，P，C三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值， 且为|AC|＝5－(－2)＝7. 答案：8　7 12．对于抛物线y2＝4x上任一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________． 解析：设Q(x0，y0)，由|PQ|≥|a|，得y＋(x0－a)2≥a2，结合y＝4x0，得x0(x0＋4－2a)≥0. 因为x0≥0，所以x0＋4－2a≥0，即a≤2＋恒成立． 又由x0≥0得2＋最小值为2，即a≤2. 答案：a≤2 13．点M(m，4)(m＞0)为抛物线x2＝2py(p＞0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5. (1)求m与p的值； (2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积． 解：(1)由抛物线定义知，|FM|＝＋4＝5，所以p＝2.所以抛物线的方程为x2＝4y， 又由M(m，4)在抛物线上，所以m＝4.故p＝2，m＝4. (2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0，其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4，切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S△FMN＝|FN|·m＝×5×4＝10. [素养拓展练] 14．河上有抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0. 75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解： 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设桥拱抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－，又知船面露出水面上部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m). 所以水面涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$