课时作业14 抛物线及其标准方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十四)　抛物线及其标准方程 [基础达标练] 1．抛物线y2＝－12x的焦点坐标为(　　) A．(－3，0)　　　　　　　　B．(0，－3) C．(－6，0) D．(0，－6) 解析：选A　抛物线y2＝－12x，焦点坐标在x轴上，p＝6，所以抛物线y2＝－12x的焦点坐标为(－3，0).故选A. 2．若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝(　　) A．± B．± C．±4 D．±8 解析：选A　抛物线y＝mx2的准线方程为y＝－， 由题意可＝2，解得m＝±. 3．已知动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－1|，则点P的轨迹为(　　) A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 解析：选B　把5＝|3x＋4y－1|化为＝，由于点(1，2)不在直线3x＋4y－1＝0上，满足抛物线的定义，则点P的轨迹为抛物线． 4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：选C　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而 yP＝±2， 所以S△POF＝|OF|·yP＝××2＝2. 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为________． 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)上的点(x0，y0)到准线的距离d＝x0＋(x0≥0)，故dmin＝，依题意＝，即焦点坐标(，0). 答案：(，0) 6．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________． 解析：设N(0，a)，F(2，0)，则M，因为点M在抛物线上，所以＝8，解得a＝±4，所以N(0，±4)，故|FN|＝＝6. 答案：6 7．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3，0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2＝2ax(a≠0)，A(m，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 8．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上两点，A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程． 解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16， 可得·2m·n＝16， 解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. [能力提升练] 9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 解析：选C　当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0).∵A，∴＝p，即p＝.∴y2＝x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2＝－x. 10． 已知△FAB，点F的坐标为(1，0)，点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是(　　) A．(2，6) B．(4，6) C．(2，4) D．(6，8) 解析：选B　抛物线的准线l：x＝－1，焦点F(1，0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋1，所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋1＋(xB－xA)＋2＝3＋xB，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4可得交点的横坐标为1，所以xB∈(1，3)，所以3＋xB∈(4，6). 11． 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________． 解析：根据两正方形的边长及O为AD的中点，求出点C，F的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解． ∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴C，F. 又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p＞0)上， ∴ 解得＝＋1. 答案：＋1 12．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1). 其中满足抛物线方程为y2＝10x的是______________．(填写适合条件的序号) 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足． 答案：②④ 13．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d， 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值． 如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|PA|＋d最小，最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2， 因为2＞2，所以点B在抛物线内部． 过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图). 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|， 则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.[素养拓展练] 14．如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 解： (1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O的原点，建立直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4). 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线． 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4， 故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|值最小． 如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M. 变电房M应建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$