第2章 3.1 抛物线及其标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，从迫击炮弹道的实际情境引入，通过三角板滑动实验抽象出定义，结合坐标系推导四种标准方程，形成“定义-推导-应用”的完整知识支架。 以情境化问题培养数学眼光，如迫击炮弹道引发探究兴趣，动手实验发展抽象能力与几何直观。通过分类讨论求方程锻炼推理思维，表格梳理方程体现数学语言的简洁性。课中辅助教师引导学生构建知识，课后练习帮助学生巩固查漏，提升应用意识。

3.1　抛物线及其标准方程 学习目标　1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程. 导语 在关于战争的电视剧中，经常会出现一种便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，所以地面上防迫击炮的工事必须是有顶盖的.故研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要走入课堂去看一看这种曲线——抛物线. 一、抛物线的定义 问题1　如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 知识梳理 1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线. 2.这个定点F叫作抛物线的焦点. 3.这条定直线l叫作抛物线的准线. 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 例1　(1)在平面内，到直线x＝2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 答案　D 解析　因为点P(2，0)在直线x＝2上，所以所求点的轨迹是一条直线. (2)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案　D 解析　如图，设P为满足条件的一点，显然点P到点A的距离等于到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，以y轴为准线的抛物线上，即所求圆心的轨迹为抛物线. 反思感悟　理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上. 跟踪训练1　已知动点M的坐标满足方程13＝|12x＋5y－12|，则动点M的轨迹为(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.以上都不对 答案　A 解析　将方程13＝|12x＋5y－12|变形为，易知此式表示动点M(x，y)到定点(0，0)的距离与其到定直线12x＋5y－12＝0的距离相等，且定点不在定直线上，结合抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以定点(0，0)为焦点，定直线12x＋5y－12＝0为准线的抛物线. 二、求抛物线的标准方程 问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示　我们取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}. 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0). 知识梳理　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p>0) x＝－ y2＝－2px (p>0) x＝ x2＝2py (p>0) y＝－ x2＝－2py (p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的符号. (4)解题时首先把方程化为标准方程. 例2　(课本例1)　根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)焦点坐标为(2，0)； (2)准线方程为x＝－. 解　(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0). 其焦点坐标为，根据题意有＝2，故2p＝8. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0). 则其准线方程为x＝－，根据题意有－＝－，故2p＝6. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝6x. 例2　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为y＝； (2)经过点(－3，－1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴， 且，则p＝， 故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝， 此时抛物线的标准方程为y2＝－x； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 此时抛物线的标准方程为x2＝－9y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (3)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝　　　　，准线方程为　　　　　　　. 答案　2　x＝－1　 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　　　. 答案　x2＝10y或x2＝－10y 解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 三、抛物线标准方程的应用 例3　(课本例2)　已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 解　因为抛物线的焦点到准线的距离p＝，所以所求抛物线的标准方程为 y2＝x， 其焦点坐标为，准线方程是x＝－. 例3　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y＝－x2；(2)x＝ay2(a≠0). 解　(1)抛物线方程y＝－x2的标准形式为x2＝－4y，又p>0，所以p＝2，所以焦点坐标是(0，－1)，准线方程是y＝1. (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，所以2p＝. ①当a>0时，， 所以焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a<0时，＝－， 所以焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综上所述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 反思感悟　求抛物线焦点坐标和准线方程的方法 (1)先将抛物线方程化成标准形式，再判断抛物线的焦点位置，最后准确地求出p的值. (2)抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－，不必讨论a的正负. 跟踪训练3　(1)抛物线x2＝－3y的准线方程是(　　) A.y＝－ B.y＝ C.x＝－ D.x＝ 答案　B 解析　由已知得p＝， 所以其准线方程为y＝. (2)已知抛物线ax2＝y(a≠0)的焦点到准线的距离为，则实数a等于(　　) A.±1 B.±2 C.± D.± 答案　A 解析　把抛物线方程ax2＝y(a≠0)化为标准方程，得x2＝y， ∵抛物线的焦点到准线的距离为， ∴，∴a＝±1. 1.知识清单： (1)抛物线的定义. (2)抛物线的标准方程的四种形式. 2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归. 3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 1.在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件. 2.抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 答案　C 解析　将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2. 3.已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A.(1，0) B. C. D.(0，1) 答案　C 解析　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝y， 则焦点坐标为. 4.以双曲线＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　. 答案　y2＝16x 解析　∵双曲线的方程为＝1， ∴右顶点的坐标为(4，0). 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 则＝4，即p＝8， ∴抛物线的标准方程为y2＝16x. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.过点P(0，2)且与x轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案　D 解析　由题意可知，动圆的圆心到点P的距离与到x轴的距离相等，满足抛物线的定义. 2.已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为. 3.抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A.y＝－1 B.y＝－2 C.x＝－1 D.x＝－2 答案　A 解析　因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1. 4.准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝－2x B.y2＝2x C.x2＝2y D.x2＝－2y 答案　B 解析　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则(－)2＝2p， 解得p＝1，因此抛物线的标准方程为y2＝2x. 5.(多选)已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为(　　) A.2 B.－2 C.2 D.－2 答案　CD 解析　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 则焦点为F. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， ∴解得 ∴m＝±2. 6.(多选)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　) A.y＝x2 B.y＝12x2 C.y＝－x2 D.y＝36x2 答案　AC 解析　分两类：a>0，a<0， 可得y＝x2，y＝－x2. 7.(5分)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　　　. 答案　 解析　抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－. 8.(5分)设点F为抛物线C：y2＝2x的焦点，点A在抛物线C上，点B，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝　　　　. 答案　 解析　因为抛物线C：y2＝2x的焦点为F， 所以|AF|＝|BF|＝1， 由抛物线的定义知A(不妨设A在第一象限)， 所以|AB|＝. 9.(10分)求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)经过点P(－2，－4)；(5分) (2)焦点为椭圆＋y2＝1的焦点.(5分) 解　(1)如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为 y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0). 将点P的坐标分别代入上述方程， 解得p1＝4，p2＝. 因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝－8x和x2＝－y. (2)椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x和y2＝4x. 10.(10分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程. 解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16， 可得·2m·n＝16，解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 11.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件，其中满足抛物线方程为y2＝10x的是(　　) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) 答案　BD 解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点， 则|MF|＝1＋＝1＋≠6，所以C不满足； 由于抛物线y2＝10x的焦点为， 设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以D满足. 12.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝杨营，则||＋||＋||等于(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 又F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1， 由＝杨营知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6. 13.(5分)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝　　　　. 答案　8 解析　如图，∠AFE＝60°， 因为F(2，0)，所以E(－2，0)， 则＝tan 60°， 即|AE|＝4， 所以点P的坐标为(6，4)， 故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8. 14.(5分)已知F1，F2分别为双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为　　　　. 答案　x＝－2 解析　由题意得双曲线的方程为＝1， 所以c2＝a2＋3a2＝4a2，所以c＝2a， 所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合. 由题意得 所以|PF2|＝6－a. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得 3x2－8ax－3a2＝0， 所以x＝－(舍)或x＝3a. 由抛物线的定义得6－a＝3a－(－2a)， 所以a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2. 15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 答案　D 解析　连接PC1(图略)，∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴直线C1D1⊥侧面BB1C1C，∴C1D1⊥PC1，则|PC1|为点P到直线C1D1的距离.又点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，∴动点P的轨迹所在的曲线是抛物线. 16.(12分)如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程；(5分) (2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.(7分) 解　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2).又F(1，0)， 所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1). 因为MN⊥FA，所以kMN＝－， 则直线MN的方程为y＝－x＋2. 解方程组 得 所以N. 学科网（北京）股份有限公司 $