课时作业13 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十三)　双曲线的简单几何性质 [基础达标练] 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　　　　B．2 C．4 D．4 解析：选C　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4. 2．双曲线－＝1渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选C　焦点在x轴上，a＝2，b＝3，渐近线方程为：y＝±x，即y＝±x. 3．已知双曲线E：－＝1的离心率为，则E的焦距为(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：选D　双曲线E：－＝1的离心率为，可得＝，可得m2＝9， 所以|m|＝3，c＝5， 所以双曲线的焦距为10. 故选D. 4．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选D　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16， 所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 5．渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为______，离心率为________． 解析：因为由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 故可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0). 因为点A(2，－3)在双曲线上， 所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 所以a＝2，c＝＝2， 所以离心率为e＝＝＝. 答案：－＝1　 6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________． 解析：双曲线方程可变为－＝1， 则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝， 又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0. 答案：(－12，0) 7．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率． 解：由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上． ∵双曲线的一条渐近线为y＝x， ∴设双曲线方程为－＝1. 又c2＝2a2＝48，∴a2＝24. ∴所求双曲线的方程为－＝1. 由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，又e＞0， ∴e＝. 8．双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解：由l过两点(a，0)，(0，b)， 设l的方程为bx＋ay－ab＝0. 由原点到l的距离为c， 得＝c. 将b＝代入，平方后整理，得 16－16×＋3＝0. 令＝x，则16x2－16x＋3＝0， 解得x＝或x＝. 因为e＝，有e＝. 故e＝或e＝2. 因为0＜a＜b， 故e＝＝＝＞， 所以离心率e为2. [能力提升练] 9．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 答案：AD 10．已知双曲线－＝1，则焦点到渐近线的距离为(　　) A．4 B．2 C．2 D． 解析：选D　由题双曲线方程为－＝1，得其焦点坐标为(0，－)，(0，). 渐近线方程为y±2x＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d＝＝.故选D. 11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________． 解析：由题意，得＝tan ＝，则e＝＝ ＝2，所以＝＝≥，当且仅当a＝，即a＝时取“＝”． 答案： 12．点P是双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的左、右两个焦点，则双曲线C1的离心率e＝________． 解析：因为圆的半径r＝＝c， 又因为∠F1PF2＝90°，2∠PF1F2＝∠PF2F1， 所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°. 在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c， 故|PF1|＝c，|PF2|＝c， 又点P在双曲线上，且在双曲线右支上， 所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a， 所以e＝＝＝＋1. 答案：＋1 13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积． 解：(1)设椭圆方程为＋＝1， 双曲线方程为－＝1(a，b，m，n＞0，且a＞b)， 则 解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2， 所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. (2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4， 所以cos ∠F1PF2＝ ＝， 所以sin ∠F1PF2＝. 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×10×4×＝12. [素养拓展练] 14．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|， 所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， 因为|PF1|－|PF2|＝2a＜2c， |PF1|＋|PF2|＝6a＞2c， 所以1＜e＝＜3，即e∈(1，3). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$