课时作业11 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十一)　椭圆的简单几何性质 [基础达标练] 1．(多选)已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则下列说法不正确的是(　　) A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相等 C．C1与C2短轴长相等 D．C1与C2焦距相等 解析：选ABC　由两个椭圆的标准方程，可知C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4. 2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1　　　　　　B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．x2＋＝1 解析：选A　依题意，得a＝2，a＋c＝2，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 解析：选C　依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.故选C. 4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　) A． B． C． D． 解析：选D　∵＝2， ∴||＝2||. 又∵PO∥BF，∴＝＝， 即＝，∴e＝＝. 5．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为________，离心率为________． 解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1， 所以a2＝b2＋c2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. 易求离心率为e＝＝. 答案：x2＋＝1　 6．若椭圆x2＋my2＝1的长轴长是短轴长的两倍，则m＝________． 解析：由x2＋my2＝1是椭圆，知m＞0且m≠1. 方程化为x2＋＝1. 当椭圆焦点在x轴上时，长轴长为2，短轴长为2，由2＝4，得m＝4. 当椭圆焦点在x轴上时，长轴长为2， 短轴长为2， 由2＝4，得m＝， 故答案为4或. 答案：4或 7．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A. (1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率． 解：(1)由已知焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1.焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)， 2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4， ∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆方程为＋＝1. (2)顶点坐标(±2，0)，(0，±)；长轴长4，短轴长2；离心率e＝. 8．求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程． 解：设所求椭圆的方程为＋＝k1(k1＞0)或＋＝k2(k2＞0)， 将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2， 解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝， 即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [能力提升练] 9．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，若椭圆的短轴长为4，则n的取值范围是(　　) A．(12，＋∞) B．(4，12) C．(4，6) D．(6，＋∞) 解析：选A　依题意得2m2－n＞n－m2＞0，得m2＞n＞m2，且n－m2＝4，得m2＝n－4，则(n－4)＞n＞n－4，得n＞12，故选A. 10．F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 解析：选D　当焦点在x轴上时， cos ∠OFA＝＝＝＝. 因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，所以椭圆方程为＋＝1； 同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. 11．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为________． 解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0). ∵b＝1，∴c2＝a2－1，又＝＝1－≤，∴≥， ∴a2≤4. 又∵a2－1＞0，∴a2＞1， ∴1＜a≤2，故2＜2a≤4. 答案：(2，4] 12． 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 解析：将直线y＝与椭圆的方程联立得 B，C，F(c，0)， 则kBF＝，kCF＝， 因为∠BFC＝90°， 所以kBF·kCF＝×＝－1， 整理得b2＝3a2－4c2， 所以a2－c2＝3a2－4c2， 即3c2＝2a2，所以e＝＝. 答案： 13．如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若＝2，·＝，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)， 其中，c＝，设B点的坐标为(x，y)， 由＝2⇔(c，－b)＝2(x－c，y)， 解得x＝，y＝－，即B点的坐标为. 将B点坐标代入＋＝1， 得＋＝1，即＋＝1， 解得a2＝3c2.① 又由·＝(－c，－b)·＝ ⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.② 由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2. 所以椭圆方程为＋＝1.[素养拓展练] 14．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0). (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝. ∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)(x0≠±2)， 则＋＝1.① ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0). 由MP⊥MH可得·＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.② 由①②消去y0，整理得 t(2－x0)＝－x＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. ∵－2＜x0＜2，∴－2＜t＜－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$