课时作业10 椭圆及其标准方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十)　椭圆及其标准方程 [基础达标练] 1．对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　由mn＞0，得或 由方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，得故“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为(　　) A.＋＝1　　　　　　B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：选D　法一：验证排除，将点(4，0)代入验证可排除A，B，C，故选D. 法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则解得故选D. 3．(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的值可以是(　　) A. B． C.2 D．3 解析：选AB　先将方程x2＋ky2＝2变形为＋＝1.要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，需＞2，即0＜k＜1.故选A，B. 4．焦距为2，且过点P(－，0)的椭圆的标准方程为________． 解析：由题意，2c＝2，c＝1. 又椭圆过点P(－，0).若焦点在x轴上，则a＝， 则b2＝a2－c2＝4，椭圆方程为＋＝1； 若焦点在y轴上，则b＝， 则a2＝b2＋c2＝6，椭圆方程为＋＝1， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 5．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是______________． 解析：根据椭圆标准方程的形式，可知方程＋＝1表示椭圆的条件是解得1＜m＜7且m≠4， 所以实数m的取值范围是(1，4)∪(4，7). 答案：(1，4)∪(4，7) 6．过(－3，2)点且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________． 解析：与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1且k＜4，将(－3，2)代入得k＝－6. 答案：＋＝1 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)； (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)， ∴∴ 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是＋＝1. 8．如图所示，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点． (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长． 解：(1)由＋＝1得a2＝100，b2＝36， 于是a＝10，c＝＝＝8， 所以椭圆的焦点坐标为F1(－8，0)，F2(8，0). (2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)， 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40. [能力提升练] 9．已知椭圆：Γ：＋＝1(0＜n＜9)，点M与Γ的焦点不重合，若M关于Γ的两个焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在Γ上，则点N到A，B两点的距离和为(　　) A.6 B．8 C.12 D．36 解析：选C　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，如图所示．因为线段MN的中点为Q，点F2为MB的中点， 所以|QF2|＝|NB|，同理可得，|QF1|＝|AN|.因为点Q在椭圆Γ上，所以有|QF1|＋|QF2|＝2a＝6，所以|AN|＋|BN|＝2(|QF1|＋|QF2|)＝12，即点N到A，B两点的距离和为12，故选C. 10．(多选)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A是椭圆上一点，△AF1F2是直角三角形，则△AF1F2的面积为(　　) A.9 B． C.4 D．5 解析：选AB　由＋＝1得|F1F2|＝8， 当AF1⊥AF2时，则 ①平方减去②得|AF1|·|AF2|＝18， ∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|＝9， 当AF1⊥F1F2(或者AF2⊥F1F2)时，|AF1|＝＝， S△F1F2＝××8＝. 故选AB. 11．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 解析：由题意可得切点A(1，0). 切点B(m，n)满足 解得B. ∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0. 令y＝0得x＝1，即c＝1； 令x＝0得y＝2，即b＝2. ∴a2＝b2＋c2＝5， ∴椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 12．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)椭圆的方程为________； (2)若△PF1F2的面积为2，则P点的坐标为________． 解析：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，即2a＝8， ∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)设P点坐标为(x0，y0)，依题意知，|F1F2|·|y0|＝2， ∴|y0|＝，y0＝±，代入椭圆方程得＋＝1，得x0＝±2， ∴P点坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－). 答案：(1)＋＝1　(2)(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－) 13．如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0).Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程． 解：如图，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|， 故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5. 又A(1，0)，C(－1，0)， 故点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝， 故点M的轨迹方程为＋＝1. [素养拓展练] 14．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值． 解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝， 即|F1F2|＝2， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时，取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4， 即||·||的最大值为4. (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)， 由＝λ 得x0＝， y0＝－. 又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1， 又与CF1方向相反．故λ＝1舍去，λ＝－7. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$