课时作业8 直线与圆的位置关系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(八)　直线与圆的位置关系 [基础达标练] 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 答案：D 2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切　　　　　　　　B．相交 C．相离 D．不确定 答案：B 3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a＝(　　) A．0 B．－2 C． D．4 解析：选AD　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2，又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或0.故选AD. 4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 解析：选A　由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2).由圆的性质易知M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 5．过点A(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________． 解析：由题意可知，圆心必在过点B且与直线x－y＝1垂直的直线上，而此直线方程为y＝－x＋3，故设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a－3)2＝r2，由条件知＝，解得a＝3，又可求r2＝2，故所求圆的方程是(x－3)2＋y2＝2. 答案：(x－3)2＋y2＝2 6．点A(3，5)是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为________． 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－4)2＝102，圆心坐标为B(2，4)，半径长r＝10. 设这条弦所在直线为l，则AB⊥l， 因为kAB＝＝1，所以直线l的斜率k＝－1. 所以所求直线为y－5＝－(x－3)，即x＋y－8＝0. 答案：x＋y－8＝0 7．求与x轴切于点(5，0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程． 解：设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵圆与x轴相切于点(5，0)，① ∴r＝|b|，a＝5，② ∵圆在y轴上截得的弦长为10， ∴a2＋＝r2，③ 由①②③得a＝5，r＝5. 所求圆的方程为(x－5)2＋(y±5)2＝50. 8．已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解：(1)由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a＞0)， 由题意，得 ＝， 解得a＝－6(舍)或a＝2， 所以圆的半径为r＝＝， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. (2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0. 弦心距d＝， 得|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为y＝－x＋. 综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－x＋. [能力提升练] 9．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 解析：选C　对任意的实数k，直线y＝kx＋1恒过点(0，1)且斜率存在．因为(0，1)在圆x2＋y2＝2内，所以对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心，故选C. 10．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　) A． B． C．π D． 解析：选C　圆心到直线的距离d＝＝. 又圆的半径r＝1，∴直线x＋7y－5＝0被圆x2＋y2＝1截得的弦长为，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即×2πr＝π. 11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 解析：由题意知，若圆上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d满足0≤d＜1.因为d＝＝，所以0≤＜1，即0≤|c|＜13.解得－13＜c＜13. 答案：(－13，13) 12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________． 解析：由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝－2.所以圆心为(0，－2)，则半径r＝＝. 答案：－2　 13．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4. (1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程； (2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值． 解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上， 故12＋a2＝4，∴a＝±. 当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0； 当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0. (2)设直线方程为x＋y＝b. ∵直线过点A，∴1＋a＝b，即a＝b－1.① 又圆心到直线的距离d＝， ∴＋＝4，② 由①②得或 [素养拓展练] 14．如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：　(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A，C两点的坐标分别为A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－. 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝. 设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，kAB＝＝. 解得a＝80，b＝120. 所以BC＝＝150. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径长为r m， OM＝d m(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r＝＝. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 所以 即 解得10≤d≤35. 故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大． 所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$