课时作业7 圆的一般方程（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(七)　圆的一般方程 [基础达标练] 1．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值为(　　) A．(0，1)　　　　　　　　B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 解析：选D　由题意可得42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1. 2．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0 解析：选B　把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，代入各选项，可知直线2x＋y＋1＝0过圆心． 3．(多选)若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：选BD　将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d＝＝，解得a＝0或a＝2. 4．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 解析：选B　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，求得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0. 5．已知P(a，b)是圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上的点，则a2＋b2的最小值是________． 解析：原点到圆心(1，－2)的距离为，半径r＝5，则a2＋b2最小值为(5－)2＝30－10. 答案：30－10 6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________． 解析：由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.故圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y－3＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝5，因此圆心为(－1，1)，半径为. 答案：(－1，1)　 7．已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解：法一(待定系数法)：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知|y1－y2|＝4， 其中y1，y2是方程③的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，④ 联立①②④解得， 或 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 法二(几何法)：由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. 所以所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1). 又圆C的半径长 r＝|CP|＝.① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|. 所以r2＝a2＋，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5， 所以r1＝，r2＝. 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 8．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称． (1)求直线l的方程； (2)求△ABC外接圆的方程． 解：(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0， ∵直线l经过点B(2，4)， ∴2－4＋c＝0，∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1， 即＝－1，① 又∵线段AC的中点D在直线l上， 即－＋2＝0，② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1，3)， 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1，1)，B(2，4)，C(－1，3)都在圆上， ∴解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. [能力提升练] 9．若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过(　　) A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　因为圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心坐标为， 由圆心在第二象限可得a>0，b>0， 所以直线x＋ay－b＝0的斜率－<0，y轴上的截距为>0， 所以该直线一定不经过第三象限． 10．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为＋(y＋1)2＝1－k2，所以k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 11．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分且不过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是________． 解析：直线过原点时，k＝2；与x轴平行时，k＝0，∴0≤k≤2. 答案：[0，2] 12．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y＝－x上；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是________(写出所有正确命题的序号). 解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确． 答案：①③ 13．已知直线l1：x＋y－3＝0与x轴交于点A，直线l2：y＝2x与l1交于点B，点C在y轴的正半轴上，且AC＝2，求△ABC外接圆的方程． 解：根据直线l1：x＋y－3＝0，令y＝0， 得x＝3， 所以A的坐标为(3，0). 由l1与l2的方程联立方程组， 得解得 所以B的坐标为(1，2). 设点C的坐标为(0，y)(y＞0)， 因为AC＝2，所以 ＝2. 解得y＝(y＞0)，所以C的坐标为(0，). 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则解得 所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0. [素养拓展练] 14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求实数t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求实数t的取值范围． 解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0， 由二次函数的图象解得－＜t＜1. ∴t的取值范围为. (2)由(1)知r＝ ＝ ， ∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是＋＝. (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9＜0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜，满足－＜t＜1. ∴t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$