第1章 2.2 圆的一般方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开引入一般方程形式，通过配方探究其表示圆的充要条件（D²+E²-4F>0），再学习化为标准方程求圆心半径，最后应用待定系数法根据条件确定方程，构建从概念到应用的学习支架。 该资料以问题链驱动探究，如通过“方程是否表示圆”引导学生用数学眼光观察方程结构，培养抽象能力。例题设计强化数学思维，如三点求圆方程训练推理与运算能力。含跟踪训练和课时对点练，课中辅助分层教学，课后助学生巩固知识，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

2.2　圆的一般方程 学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心坐标和半径.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 一、圆的一般方程的理解 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F<0时呢？ 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 知识梳理 1.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 跟踪训练1　(1)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是　　　　　. 答案　 解析　由题意得(－1)2＋12－4m>0， 解得m<. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0， 即m>0.所以0<m<. (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　　　　. 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，解得k＝4， ∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为×＝3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　(课本例4)　求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程. 解　设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0. 因为A，B，C三点在圆上，所以有 解得 故所求圆的方程为 x2+y2－2x+4y－20＝0(如图). 例2　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组，解出系数，得到方程. 跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆C的一般方程. 解　由题意知圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－1＝0， 即D＋E＝－2. ① 又∵半径r＝， ∴D2＋E2＝20. ② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0，则 故圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三、圆的一般方程的综合问题 例3　(课本例5)　讨论方程λ(x2+y2)＝(x－3)2+y2表示的是怎样的图形. 解　将原方程整理为 (λ－1)x2+(λ－1)y2+6x－9＝0. ① 当λ＝1时，方程①是一元一次方程6x－9＝0，表示与x轴垂直的直线. 当λ≠1时，方程①可进一步整理为 +y2＝. ② 当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形； 当λ＝0时，方程②只有一组解故原方程表示一个点(3，0)； 当λ>0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点，半径为的圆. 例3　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围. 解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1， ∴－7t2＋6t＋1>0. 即7t2－6t－1<0，解得－<t<1. 故t的取值范围是. (2)圆的半径r＝ ＝. 当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大， 对应的圆的方程是. (3)当且仅当t2＋1<－7t2＋6t＋1时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0，即0<t<. 故t的取值范围是. 反思感悟　与圆有关的含有参数的二元二次方程解题策略 (1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的取值范围，并可求得有关的最值. (2)若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则圆心坐标为，半径r＝(其中D2＋E2－4F>0). 跟踪训练3　已知方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)若圆的直径为6，求t的值； (3)若圆心在第二象限，求t的取值范围. 解　(1)由题意知，方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示圆， 则D2＋E2－4F＝(t＋1)2＋t2－4(t2－2) ＝2t＋9>0，∴t>－， 即实数t的取值范围为. (2)∵圆的半径r＝＝3， ∴t＝. (3)由题意知圆心坐标为， ∵圆心在第二象限， ∴∴－<t<0， ∴t的取值范围为. 1.知识清单： (1)圆的一般方程的理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的综合问题. 2.方法归纳：待定系数法、几何法. 3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件. 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 所以m>－. 2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，－6 B.－4，－6 C.－4，6 D.4，6 答案　A 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)， ∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，即圆心坐标为(2，0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，故B，C正确，D错误. 4.已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为　　　　　　　　. 答案　x2＋y2－6x－2y＋6＝0 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 ∴圆C的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知圆x2＋y2＋2ax＋9＝0的圆心坐标为(5，0)，则圆的半径为(　　) A.3 B. C.5 D.4 答案　D 解析　圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0， 即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 由圆心坐标为(－a，0)，可得a＝－5， 故圆的半径为＝4. 2.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　) A.－2 B.0 C.1 D. 答案　ABD 解析　根据题意，若方程表示圆， 则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1， 结合选项可知a的值可以为－2，0，. 3.若点P(1，1)在圆x2＋y2＋2x－y＋k＝0的内部，则实数k的取值范围是(　　) A.(－∞，－3) B. C. D. 答案　A 解析　因为点P(1，1)在圆x2＋y2＋2x－y＋k＝0的内部，所以需满足 解得k<－3. 4.(多选)下列结论正确的是(　　) A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆 D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0 答案　ABD 解析　A，B，D显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2). 5.已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为(　　) A.(1，－1) B.(0，1) C.(－1，－1) D.(0，－1) 答案　D 解析　∵圆的半径r＝， ∴当圆的面积最大即r最大时，k＝0，此时圆心坐标为(0，－1). 6.若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　因为圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心坐标为， 由圆心在第二象限可得a>0，b>0， 所以直线x＋ay－b＝0的斜率－<0，在y轴上的截距>0， 所以该直线一定不经过第三象限. 7.(5分)当m变化时，圆x2＋y2＋(m＋2)x＋y－2＝0恒过定点　　　　　　　　　. 答案　(0，－2)和(0，1) 解析　方程x2＋y2＋(m＋2)x＋y－2＝0可化为(x2＋y2＋2x＋y－2)＋mx＝0.由得所以定点坐标是(0，－2)和(0，1). 8.(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为　　　　　　　　. 答案　x2＋y2－4x－5＝0 解析　设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)， 由题意可得， 解得a＝2(a＝－2舍去)， 所以圆C的半径为＝3， 所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 9.(10分)已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆. (1)求t的取值范围；(4分) (2)求该圆半径r的取值范围.(6分) 解　(1)将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2 ＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆， 所以－t2－4t－3>0，解得－3<t<－1. (2)因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1， 所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1， 所以r∈(0，1]. 10.(10分)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称. (1)求直线l的方程；(3分) (2)求△ABC外接圆的方程.(7分) 解　(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠1)， ∵直线l经过点B(2，4)， ∴2－4＋c＝0， ∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)， 则kAC·kl＝－1， 即＝－1， ① 又∵线段AC的中点D在直线l上， 即＋2＝0， ② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3， ∴C(－1，3)， 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1，1)，B(2，4)，C(－1，3)都在圆上， ∴ 解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. 11.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆. ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a>2， ∴a的取值范围是(2，＋∞). 12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　) A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5 C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5 答案　C 解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5， ∴圆心C(2，－1)，半径r＝. 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为 C'(x0，y0)， 则 解得故C'(－2，3)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5. 13.(多选)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A.的最大值为9 B.圆关于直线y＝－2x对称 C.F＝4 D.圆与y轴相切 答案　ABC 解析　表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心(2，－4)到点(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5＋4＝9，A正确； 因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确； 由题知 解得D＝－4，E＝8，F＝4，C正确； 由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径， 故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误. 14.(5分)已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为　　　　. 答案　－2 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0，设两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0，设两根分别为x1，x2， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 15.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P'(7，－3)， 连接MP'，交圆M于点Q，交x轴于点S，连接SP，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q， 由于P与P'关于x轴对称， 所以|SP|＝|SP'|，|S'P|＝|S'P'|， 所以|SP|＋|SQ|＝|SP'|＋|SQ| ＝|P'Q|<|S'P'|＋|S'Q|＝|S'P|＋|S'Q|. 故(|SP|＋|SQ|)min＝|P'M|－1 ＝－1＝9. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，0)，B(1，0).若动点C满足|AC|＝|BC|，求△ABC面积的最大值. 解　设点C(x，y)，∵|AC|＝|BC|， ∴·， 即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2， 化简整理得(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0. ∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上的点外的任意一点，∴S＝|AB|·|yC|＝|yC|≤2， ∴△ABC面积的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $