课时作业5 平面直角坐标系中的距离公式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(五)　平面直角坐标系中的距离公式 [基础达标练] 1．已知M(－3，0)，N(－1，3)，则|MN|等于(　　) A．5　　　　　　　　　　B． C． D．4 解析：选C　|MN|＝＝. 2．已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝(　　) A． B．－ C．1 D．或－ 解析：选D　由题意得 ＝， 解得m＝或－. 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程为(　　) A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0 解析：选A　由已知得，所求直线过(1，2)且垂直于(0，0)与(1，2)两点的连线，所以所求直线的斜率k＝－，所以y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 4.如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：选B　因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y＝上．直线AB与直线x＝－平行，且两平行线间的距离为1.又1＜＝，所以满足条件的点P有1个． 5．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________． 解析：设A(x，0)，B(0，y)，因为AB的中点为P(2，－1)，所以＝2，＝－1，所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝＝2. 答案：2 6．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________． 解析：设P(x，y)，A(2，－1)，且点P在直线x＋y－3＝0上，＝|PA|，|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离，为d＝＝. 答案： 7．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b＞1)， 则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)， ∴|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b＞1)， 由梯形面积公式得×＝4， ∴b2＝9，b＝±3.但b＞1，∴b＝3. 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 8．已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程． 解：①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时直线l与l1，l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的线段长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意； ②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1. 解方程组 得A， 解方程组 得B. 由|AB|＝5， 得＋＝52， 解得k＝0，即所求的直线方程为y＝1， 综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1. [能力提升练] 9．(多选)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值可为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 解析：选ABCD　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5. 10．已知点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A．2 B． C． D．2 解析：选B　将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1，1)，所以直线l恒过定点Q(1，1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为. 11．若两直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0平行，则a，c需满足的条件是________；若这两条平行直线的距离为，则的值为__________． 解析：由题意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2， 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0， 由两平行线间的距离公式，得＝， 解得c＝2或c＝－6，∴＝±1. 答案：a＝－4，且c≠－2　±1 12．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0，4)的距离为1的直线l的方程为________． 解析：由解得 所以l1，l2的交点为(1，2). 显然，直线x＝1满足条件； 另设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， 依题意有＝1，解得k＝－. 所以所求直线方程为3x＋4y－11＝0或x＝1. 答案：3x＋4y－11＝0或x＝1 13．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程． 解：(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0， 在直线l1上取点A(0，1)， 则点A到直线l2的距离d＝＝5， ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝， ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. (2)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上，满足条件的直线方程有两组： 或 [素养拓展练] 14．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l边建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？ 解： 如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|＞|A′B|.因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l， 即 解得即A′(3，6). 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0， 解方程组解得 所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处．此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$