1.1.3 第3课时 直线方程的一般式课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1.3 第3课时 新授课 直线方程的一般式 1. 掌握直线方程的一般式，并会用它求直线的方程. 2. 掌握五种直线方程之间的关系，并会选择合适的形式求解直线方程. 3. 了解直线方程的点法式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 复习回顾 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一点P(x0,y0)和斜率k y – y0 = k (x – x0) 不垂直于x轴的直线 斜率k，纵截距b y = kx +b 不垂直于x轴的直线 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 不垂直于x轴、y轴的直线 横截距a和纵截距b 不垂直于x轴、y轴，不过原点的直线 思考：仔细观察，说说上述四个方程有什么共同特点？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：直线的一般式方程 共性:类似上述直线方程的四种形式都可以看成关于 x，y 的二元一次方程． 可以；x − x0 = 0 可化为 x + 0·y − x0 = 0； 问题1:当直线 l 过点 P0 (x0，y0) 且斜率不存在，即倾斜角 α = 90°时，直线 l 的方程为 x − x0 = 0，此时直线方程可以看成关于 x，y 的二元一次方程吗？ 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示； 形式： Ax + By + C = 0 ( A、B 不同时为 0 ). 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为0) 都表示一条直线吗？ 结论2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0) 都表示一条直线． ① 当B ≠ 0 时： ② 当B = 0，A ≠ 0 时： 方程变形为 ，表示过点 (0， )，斜率为 的直线； 方程变形为 ，表示过点 ( ，0)，且垂直于 x 轴的直线. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 直线的一般式方程： 关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0)叫做直线方程的一般式. 注意：对于直线的一般式方程，规定：① x 的系数为正；② x，y 的系数及常数项一般不出现分数；③ 按含 x 项，含 y 项、常数项顺序排列. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知直线经过点A(6，-2)，且斜率为 ，求该直线方程的点斜式、一般式和截距式. 解：经过点A(6，-2)，且斜率为 的直线方程的点斜式是 化成一般式，得2x+3y-6=0. 把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到截距式 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与 y轴上的截距，并画图. 解：将原方程移项，得2y=3x+6. 方程的两边同时除以2，得到斜截式 因此，直线l的斜率k= ，它在y轴上的截距是3. 令y=0，可得x=-2，即直线l在x轴上的截距是-2. 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0)，B(0,3).过点A，B作直线，即可得直线l. O x y –2 –1 –3 1 1 3 –1 A 2 4 B 画一条直线时，只要画出这条直线上的两点就可以了，通常是找出直线与两坐标轴的交点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为-2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为 ，求m的值. 解:(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(-2，0)， 故m的值为 所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R. (2)若直线l与y轴垂直，求m的值；(3)若直线l的倾斜角为 ，求m的值. 解:(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0. 由 ，可得m=0. 所以直线l的方程可化为斜截式 (3)由(2)可知直线l的斜率为 又倾斜角为 所以由斜率与倾斜角的关系可得 解得 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：直线方程的点法式 前面已经讨论了直线的方向向量，与方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向. 思考:如图,在平面直角坐标系中,已知直线l经过点P(x0,y0)，且它的一个法向量为n=(A,B),如何求直线l的方程呢？ 若直线l经过点P，且一个法向量为n，则直线l上不同于点P的任意一点M都满 足