第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线方程的一般式”核心知识点，衔接已学的点斜式、斜截式、两点式、截距式，系统梳理一般式的定义、结构特征及五种形式的转化方法，搭建从特殊到一般的知识支架。 通过问题驱动（如“每一条直线是否可用二元一次方程表示”）培养数学眼光，表格对比与分类讨论（系数A、B、C的不同情况）发展数学思维，例题及跟踪训练强化方程转化与参数求解能力以提升数学语言表达。课中辅助教师授课，课后通过课时对点练和知识清单帮助学生查漏补缺。

第3课时　直线方程的一般式 学习目标　1.理解直线方程的一般式.2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.3.能利用直线方程的一般式解决相关问题. 导语 前面我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 一、直线方程的一般式 问题　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线. 知识梳理 1.关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式. 2.直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零 注意点： (1)直线方程的一般式的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程. ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. ③x的系数一般不为分数和负数. ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. 例1　(课本例11)　已知直线经过点A(6，－2)，且斜率为－，求该直线方程的点斜式、一般式和截距式. 解　经过点A(6，－2)，且斜率为－的直线方程的点斜式是y+2＝－(x－6). 化成一般式，得2x+3y－6＝0. 把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到截距式+＝1. 例1　根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴的直线方程. 解　(1)由点斜式，可得直线方程为y－(－6)＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0. (2)由截距式，可得直线方程为＝1，即2x－y－3＝0. (3)由两点式，可得直线方程为，即x＋y－1＝0. (4)由题意，可得直线的斜率为0，则直线方程为y－2＝0. 反思感悟　求直线方程的一般式的策略 在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式)，然后转化为一般式. 跟踪训练1　求适合下列条件的直线方程的一般式： (1)经过点A(2，－3)，并且其倾斜角等于直线x－y＋1＝0的倾斜角的2倍的直线方程； (2)经过点(0，1)，且倾斜角为的直线方程. 解　(1)因为直线x－y＋1＝0的斜率为， 所以其倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为， 故所求直线的斜率为， 又所求直线经过点A(2，－3)， 所以直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－3－2＝0. (2)由直线方程的点斜式可得y－1＝(x－0)， 化为一般式为x－y＋1＝0. 二、由截距、斜率的值求参数 例2　(课本例13)　已知直线l的方程为mx+(m－1)y+1＝0，m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为，求m的值. 解　(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)， 所以－2m+(m－1)·0+1＝0，解得m＝. 故m的值为. (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0. 所以直线l的方程可化为斜截式 y＝x－. 由＝0，可得m＝0. 故m的值为0. (3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为， 所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan，即＝1. 解得m＝. 故m的值为. 例2　设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值. (1)l在x轴上的截距是－4； (2)斜率为. 解　(1)令y＝0，得x＝， 由＝－4， 解得m＝. (2)直线l的斜率k＝－＝－. 由－，解得m＝. 延伸探究1　若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值. 解　由k＝－＝tan 45°， 即3－m＝3m－1， 得m＝1. 延伸探究2　若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值. 解　当x＝0时，y＝， 当y＝0时，x＝， 则， 即m＝－1. 延伸探究3　当直线l垂直于y轴时，试求m的值. 解　由直线l的斜率k＝－＝0， 得m＝3. 反思感悟　求一般式表示的直线的斜率与横截距，可以将一般式化为斜截式，求横截距，令方程中y＝0解出x即为所求. 三、直线方程的一般式的应用 例3　已知直线l：kx－2y－3＋k＝0. (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围； (2)设直线l与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程. 解　(1)因为kx－2y－3＋k＝0， 所以y＝x＋. 若直线l不经过第二象限，则 解得0≤k≤3. (2)由题意得，A，B，k<0， 则△AOB的面积为··＝－. 因为△AOB的面积为4， 所以－＝4，即k2＋10k＋9＝0， 解得k＝－9或k＝－1. 当k＝－1时，直线方程是x＋2y＋4＝0； 当k＝－9时，直线方程是9x＋2y＋12＝0， 综上，所求直线方程是x＋2y＋4＝0或9x＋2y＋12＝0. 反思感悟　求直线方程的一般式的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定，的值；当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定，的值.因此，只要给出两个独立条件，就可以求出直线方程. 跟踪训练2　(1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足的条件是　　　　. 答案　a≠－2 解析　根据题意，由 解得a＝－2. 要使方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线， 则a2＋5a＋6和a2＋2a不能同时为零， 所以a≠－2. (2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是　　　　. 答案　15x－3y－7＝0 解析　直线的斜截式为y＝－x－， 所以－＝5， 即A＝－5B，代入A－2B＋3C＝0，可得C＝B.将直线方程中的参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋B＝0.消去B，化简可得15x－3y－7＝0. *四、直线方程的点法式 1.直线的法向量：与方向向量垂直的向量称为直线的法向量. 2.直线方程的点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0为直线方程的点法式. 注意点： 直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向. 例4　(课本例14)　已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC边上的高所在直线的方程. 解　由已知，可得＝(－2，2). 因为＝(－2，2)就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1，2)， 所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程为－2(x－1)+2(y－2)＝0， 即x－y+1＝0. 例4　已知点A(3，2)和点B(－1，－4)，求线段AB的垂直平分线方程. 解　线段AB的中点C， 即C(1，－1). ＝(－1－3，－4－2)＝(－4，－6)， 表示线段AB垂直平分线的一个法向量， 代入直线方程的点法式得， －4(x－1)－6(y＋1)＝0，即2x＋3y＋1＝0. 反思感悟　利用直线方程的点法式求直线的方程的关键是确定所求直线的法向量n＝(A，B)，通常利用向量的数量积为0来求解. 跟踪训练3　直线l在y轴上的截距为2且方向向量为(2，－1)，求直线l的方程. 解　由直线l的方向向量为(2，－1)，得直线l的一个法向量为(1，2)，又直线l过点(0，2)， 代入直线方程的点法式为x＋2(y－2)＝0， 即x＋2y－4＝0. 1.知识清单： (1)直线方程的一般式. (2)直线方程五种形式的互化. (3)直线方程的点法式. 2.方法归纳：分类讨论法、化归转化. 3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 1.直线＝1化成一般式为(　　) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 答案　C 2.在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 3.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点　　　　. 答案　(－2，1) 解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0， 即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0， ∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时， ∴x＝－2，y＝1， ∴该直线过定点(－2，1). 4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是　　　　. 答案　3 解析　由已知得 ∴m＝3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.过点(2，1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0 C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0 答案　D 解析　根据直线方程的点斜式， 可得y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 2.直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0，2)，则直线的方程为(　　) A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0 C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0 答案　B 解析　∵直线的方向向量为a＝(1，－3)， ∴k＝－3， ∴直线的方程为y＝－3x＋2， 即3x＋y－2＝0. 3.(多选)在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为锐角的是(　　) A.y＝3x－1 B.x＋2＝0 C.＝1 D.2x－y＋1＝0 答案　AD 解析　因为直线y＝3x－1的斜率为3，且3>0，所以此直线的倾斜角为锐角；因为直线x＋2＝0与x轴垂直，所以此直线的倾斜角为直角；因为直线＝1可化为y＝－x＋3，则此直线的斜率为－，且－<0，所以此直线的倾斜角为钝角；因为直线2x－y＋1＝0可化为y＝2x＋1，则此直线的斜率为2，且2>0，所以此直线的倾斜角为锐角. 4.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A.－，－1 B.，－1 C.－，1 D.，1 答案　A 解析　原方程化为＝1， ∴＝－1，∴b＝－1. 又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， ∴k＝tan 120°＝－， ∴a＝－. 5.已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(　　) A.15x－10y－6＝0 B.15x－10y＋6＝0 C.6x－4y－3＝0 D.6x－4y＋3＝0 答案　A 解析　∵直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，可设直线l的方程为3x－2y＋c＝0.再根据直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，可得－＝1，解得c＝－，故直线l的方程为3x－2y－＝0，即15x－10y－6＝0. 6.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化 答案　ABC 解析　A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的；B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)；C说法正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行；D说法显然错误. 7.(5分)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是　　　　　　　　. 答案　 解析　∵直线的斜率k＝－，a2＋1≥1，∴－1≤k<0. ∴直线倾斜角的取值范围是. 8.(5分)已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为　　　　. 答案　－ 解析　把(3，0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 令x＝0，得y＝－. 9.(10分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线. (1)求实数m需满足的条件；(5分) (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.(5分) 解　(1)由解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1，解得m＝0. 10.(10分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程. 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x，1). 又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 11.已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)，则下列各图中正确的是(　　) 答案　A 解析　由直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)， 可得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－x＋. 对于A，l1中的a>0，b>0，l2中的a>0，b>0，A正确； 对于B，l1中的a>0，b<0，l2中的a<0，b<0，矛盾，B错误； 对于C，l1中的a<0，b>0，l2中的a>0，b>0，矛盾，C错误； 对于D，l1中的a<0，b>0，l2中的a<0，b<0，矛盾，D错误. 12.(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是(　　) A.若ab>0，则直线l的斜率小于0 B.若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90° C.直线l可能经过坐标原点 D.若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0° 答案　ABD 解析　若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确； 若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确； 将(0，0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误； 若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确. 13.(5分)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是　　　　　　　　. 答案　x＋y－5＝0 解析　由x－y＋1＝0， 得A(－1，0)，又P的横坐标为2， 且|PA|＝|PB|， ∴P为线段AB中垂线上的点， 则B(5，0).直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数， 故PB的斜率kPB＝－1， 则方程为y＝－(x－5)， 即直线PB的方程为x＋y－5＝0. 14.(5分)瑞士著名数学家欧拉在1765年首次提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则其“欧拉线”的方程为　　　　　　.(结果写成直线方程的一般式)  答案　3x－4y＝0 解析　由题设知，△ABC是直角三角形，则其垂心为直角顶点A(0，0)，其外心为斜边BC的中点M(4，3)，故其重心在直线AM上，故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程，为y＝x，即3x－4y＝0. 15.(5分)已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为　　　　　　　　. 答案　2x＋3y＋4＝0  解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0，2a2＋3b2＋4＝0， 因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 16.(12分)已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，当实数a的值在区间(0，2)内变化时，求直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值. 解　将直线ax－2y－2a＋4＝0化为y－2＝(x－2)，得直线l1恒过定点(2，2)， 将直线2x－(1－a2)y－2－2a2＝0化为 2x－y－2＋a2(y－2)＝0， 由得 即直线l2恒过定点(2，2). 如图，在平面直角坐标系中取点B(2，2)，连接OB，过点B作出直线l1，l2的大致图象，l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A.则在△OAB中OA边上的高为2，在△OBC中OC边上的高为2， 点A的坐标为(1＋a2，0)，点C的坐标为(0，2－a). 因为0<a<2，所以S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC ＝×2×(1＋a2)＋×2×(2－a)＝a2－a＋3 ＝， 所以当a＝时，所求四边形OABC的面积最小，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $