第1章 特殊平行四边形（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第1章 特殊平行四边形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．1 2．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025·陕西西安·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图1，在正方形纸板中，．为对角线．E，F分别为的中点，连接，分别交于O，N两点，P，H分别为的中点，连接，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这副七巧板拼成如图2所示的图形，则点Q到之间的距离为（    ） A． B．4 C． D． 5．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 7．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ． 13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 14．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，为正方形的对角线，．动点分别从点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿向终点运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 20．（本题6分）（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 21．（本题8分）（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知在中，，点，分别在，上，点在射线上，． (1)如图，点与点重合，若，．求证：是的中点； (2)如图，点在的延长线上，过点作交于点． 补全图形； 写出当与的数量关系满足什么条件时，，并证明． 22．（本题8分）（24-25九年级上·广东深圳·期中）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）． (1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． (2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 23．（本题8分）（24-25八年级下·广东东莞·期中）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 24．（本题8分）（2025·江西九江·一模）【回归教材】 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点． 求证：． 【定理证明】 （1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长； （3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长． 25．（本题10分）（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点． (1)问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是___ ； (2)问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．判断的形状，并证明你的结论； (3)拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点A按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．若正方形的边长为1，求的面积． 26．（本题10分）（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 【迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第1章 特殊平行四边形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，，再证明为直角三角形，为中线，进而解答即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵点P为线段的中点， ∴是的斜边的中线， ∴， 故选：D． 2．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【思路引导】过点O作于点H，根据正方形性质得，证明和全等得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此得当为最小时，为最小，再根据“垂线段最短”得：当时为最小，则最小值为线段的长，由此得的最小值为1，据此即可得出的最小值． 【规范解答】解：过点O作于点H，如图所示： ∵是正方形，且， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴当为最小时，为最小， ∵点E在边上， ∴根据“垂线段最短”得：当时为最小， 即点E于点H重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为1， 此时， 即的最小值为． 故选：D． 【考点剖析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 4．（2025·陕西西安·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图1，在正方形纸板中，．为对角线．E，F分别为的中点，连接，分别交于O，N两点，P，H分别为的中点，连接，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这副七巧板拼成如图2所示的图形，则点Q到之间的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正方形的性质和平行四边形的性质，根据相关性质求出线段的长，进而即可求出答案． 【规范解答】解：由，结合正方形的性质可得， 图形⑦中边上的高为， 图形⑥为平行四边形，其中边上的高为， 图形④是正方形，其边长为， 由此累加可求得点Q到之间的距离为． 故选：C． 5．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由，得到是的垂直平分线，即可得到，进而判断A；有等边对等角得到，，即可得到，进而判断B；证明出，得到，即可判断C；只有当时，，即可判断D． 【规范解答】∵四边形是正方形，对角线，交于点O， ∴ ∵ ∴是的垂直平分线 ∴，故A不符合题意； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即，故B不符合题意； ∵，， ∴ ∴，故C不符合题意； 只有当时，， 根据题意无法求出，故不一定成立，故D符合题意． 故选：D． 【考点剖析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，勾股定理，知道什么时候会使成为最小值是解本题的关键． 连接，，设交于，连接，，延长，作于，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【规范解答】解：连接，，设交于，连接，，延长，作于， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分， ∴点关于的对称点为， ∴， ∴， 只有当点运动到点时，取等号（两点之间线段最短）， 在中，，， ∴． ∵， ∴，． ∵菱形的边长为，为的中点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 故选：B． 7．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由矩形的性质可得，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和即可解答． 【规范解答】解：∵矩形中，对角线、相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】连接，证，得，，再证是等边三角形，得，过点D作于M，设，则，，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为， ∴， 过点D作于M， 设， 则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【规范解答】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【规范解答】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 【答案】①③或③① 【思路引导】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【规范解答】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 利用菱形的性质，得点是的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出在中，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：四边形是菱形， ，，，， 在中，， 中，， ． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的额关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可推出，得到，再根据三角形的内角和定理可得，结合，推出，即可求解． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【规范解答】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 故答案为： ． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ． 【答案】13 【思路引导】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆的性质，连接与．根据矩形的性质，由四边形是矩形，得，．根据勾股定理，由中，，，得．根据圆上到圆心的距离均相等，由，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆的性质是解决本题的关键． 【规范解答】解：如图，连接与． 四边形是矩形， ，． 在中，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 故答案为：13． 17．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，为正方形的对角线，．动点分别从点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿向终点运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了正方形的性质、动点问题、垂直的几何性质（勾股定理）及面积比例计算，解题的关键是通过坐标系转化几何关系，利用勾股定理表示垂直，结合面积公式建立方程求解． 设定坐标与动点位置，简化几何关系；用比例求交点O的坐标（定点）；用勾股定理推导E点坐标（利用垂直的直角三角形性质）；计算分割后的三角形面积，结合比例列方程求解． 【规范解答】以为x轴的正半轴、以为y轴的正半轴建立直角坐标系（如图）． 设正方形中，，，，， 动点P从A出发沿运动，时， ； 动点Q从C出发沿运动，时， ． 交于O，因， ∴，则， 由中点坐标公式可得； ，交于E，设点，连接， 由两点间距离公式： 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴ 即，解得： 故． ∴， 将四边形分为（面积和（面积两部分； 由面积比得：若，解得；若，解得． 故答案为：或． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 20．（本题6分）（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形，理由见解析 【思路引导】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 21．（本题8分）（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知在中，，点，分别在，上，点在射线上，． (1)如图，点与点重合，若，．求证：是的中点； (2)如图，点在的延长线上，过点作交于点． 补全图形； 写出当与的数量关系满足什么条件时，，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；当时，，理由见解析． 【思路引导】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 利用含度角的直角三角形的性质即可证明； 根据题意补全图形即可； 在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，得到，再证明，推出，，再证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明；然后再证明这是唯一充分条件即可． 【规范解答】（1）解：证明：∵点与点重合，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：补全图形如图； 当时，； 证明：在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设，即， ∵，， ∴，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴． 再证明当时，，即证明这是唯一充分条件： 过点作，即，过点作，两线相交于点，连接，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，点是的中点， ∴，, ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴ ， 即． 22．（本题8分）（24-25九年级上·广东深圳·期中）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）． (1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． (2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，由旋转的性质，得到，，，，进而得到E，B，M三点共线，通过证明，得到，由此得到． （2）在线段上截取，通过证明，得到，再证明，得到，由此得到． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图2，把绕点A顺时针旋转，得到， 由旋转的性质得：，，，， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴E，B，M三点共线， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： 如图3，在线段上截取， ∵四边形是正方形 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴． 23．（本题8分）（24-25八年级下·广东东莞·期中）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②四边形的面积是定值．证明见解析 【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由正方形的性质得到，，进而证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明四边形是正方形； （2）①过E作于F点，过E作于G点，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； ②由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图： 由（1）知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②解：四边形的面积是定值． 理由：∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 24．（本题8分）（2025·江西九江·一模）【回归教材】 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点． 求证：． 【定理证明】 （1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长； （3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【思路引导】（1）根据证明，再利用全等三角形的性质证明即可； （2）证明，则可得出答案； （3）根据线段中点的定义可得，然后利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出的值即可． 【规范解答】（1）证明：∵, ∴， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵矩形中，是的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线性质、中点定义、矩形的性质、勾股定理、解方程等周四，熟记相关几何性质并利用勾股定理列出方程求解是解题的关键． 25．（本题10分）（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点． (1)问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是___ ； (2)问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．判断的形状，并证明你的结论； (3)拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点A按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．若正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)，； (2)的形状是等腰直角三角形，理由见解析； (3) 【思路引导】（1）根据题意可得为的中位线，再根据中位线的性质即可求解； （2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形； （3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出，和的长度，即可计算出的面积． 【规范解答】（1）解：∵点P和点Q分别为，的中点， ∴为的中位线， ∵四边形是正方形，点为对角线的中点 ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：的形状是等腰直角三角形．理由如下： 连接并延长交于点， 由正方形的性质及旋转可得，∠， 是等腰直角三角形， ∴，． ∴，． 又∵点是的中点， ∴． ∴． ∴，． ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∴也为等腰直角三角形． 又∵点为的中点， ∴，且． ∴的形状是等腰直角三角形． （3）解：延长交边于点，连接，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴． 由旋转得，四边形是矩形， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，，． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴． 【考点剖析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，二次根式的乘法运算，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（本题10分）（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形． 【变式探究】 （2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长． 【迁移拓展】 （3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）是等边三角形，证明见解析 【思路引导】（1）先根据正方形的性质得出，再根据垂直的意义得出，然后根据中点的意义得出，再根据等边对等角得出，，进而得出，从而可得为等腰直角三角形； （2）先根据正方形的性质，得出，，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，得出，再利用等边对等角，可得，，从而可得出，再利用等腰直角三角形的性质得出； （3）先猜想：是等边三角形，再说理，先根据矩形的性质，得出，，,从而可根据证明，再利用全等三角形的性质得出．再证明，结合全等三角形的性质可得出是的中位线，从而可得，再根据平行线的性质得出，从而可得，于是可证明是等边三角形． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）∵四边形是正方形，， ∴，． ∵G为的中点，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）猜想：是等边三角形． 延长、交于点M，延长、交于点N， ∵四边形是矩形，G为的中点， ∴，，． ∴． ∵， ∴（）． ∴． ∴在中，． ∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$