第1章 特殊平行四边形（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第1章 特殊平行四边形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.54 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川南充·一模）如图，在中，E,F分别是边的中点，M，N在对角线上，．要使四边形是矩形，可添加下列条件（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 9．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为y（），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（   ） A．48 B．72cm2 C．84cm2 D．96cm2 10．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为 ． 12．（2025·青海西宁·一模）如图，在菱形中，于点，，，则的长是 ． 13．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 14．（2025·上海普陀·二模）在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么的长等于 ． 15．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 16．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，E为正方形内的一点，，，则图中阴影部分的面积为 ． 17．（23-24九年级上·广东梅州·期中）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，若四边形为正方形，矩形的长为17，正方形的边长为3，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 20．（本题6分）（2025·广西梧州·二模）如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接．求证：四边形是菱形． 21．（本题8分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． (1)当时，依题意补全图1，并直接写出的度数：______； (2)在（1）的条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若，请直接写出线段的长：______． 22．（本题8分）（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，求的长． 23．（本题8分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的长； (3)求证：． 24．（本题8分）（24-25八年级下·新疆伊犁·期末）如图，点O是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求菱形的面积． 25．（本题10分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． 【数学思考】 如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． 【深入探究】 如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长． ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 26．（本题10分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第1章 特殊平行四边形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.54 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【规范解答】解：矩形， ，， ， ． 故选：C． 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据旋转的性质，可得，继而求出的度数，根据等边对等角，即可解答． 【规范解答】解：∵菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，根据旋转的性质可得，进而根据，即可求解． 【规范解答】解：∵在正方形中，，为的中点， ∴，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是列一次函数关系式，一次函数的应用，设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的矩形的周长为，可得到 x、y之间的关系式． 【规范解答】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为， ， ， 即直线的函数表达式是， 故选择：B． 5．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【规范解答】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 6．（2025·四川南充·一模）如图，在中，E,F分别是边的中点，M，N在对角线上，．要使四边形是矩形，可添加下列条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定问题，解题的关键是熟练掌握平行线、全等三角形的性质，并能够作简单的辅助线辅助求解．根据平行四边形的性质，通过证明，推导得，，易证四边形是平行四边形；连接，证明四边形是平行四边形，推出；再根据各选项结合矩形的判定定理，即可完成解答． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 连接， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； A、若，则， ∴，不能使四边形是矩形； B、若，则不一定与相等，不能使四边形是矩形； C、若，不一定相等，则不一定与相等，不能使四边形是矩形； D、若，则一定与相等， ∴平行四边形是矩形，能使四边形是矩形； 故选：D． 7．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，通过角平分线定义和平行线的性质得出，所以，然后通过勾股定理得，最后由线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【思路引导】此题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，然后分别根据勾股定理和矩形的性质求解即可． 【规范解答】当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，如图（1）所示，连接． 在中，，， ． 由轴对称可知，． 又， 点，，共线， ． 设，则，， ， ， 解得， ． ②当时，如图（2）所示， 又， 四边形为矩形． 又， 此时矩形为正方形， ， ． 综上所述，的长为或1． 故选：C． 9．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为y（），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（   ） A．48 B．72cm2 C．84cm2 D．96cm2 【答案】B 【思路引导】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图象信息求解即可． 【规范解答】解：由图象可知，10s时，P、E重合，cm 根据题意，得 ， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图象可知， ∴， ∴， ∴矩形的面积为： 故选：B． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【思路引导】过点作，根据正方形的性质，结合斜边上的中线，推出，进而推出，得到，得到为等腰直角三角形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，进行求解即可． 【规范解答】解：过点作，则：， ∵正方形， ∴，，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当，即点与点重合时，最小为1， ∴的最小值为． 故选：D 【考点剖析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算，熟练根据作图确定是解题的关键．连接，，由作图可知，判定四边形是正方形，再在等腰直角中求出和即可解决． 【规范解答】解：如图，连接，， 由作图可知， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 12．（2025·青海西宁·一模）如图，在菱形中，于点，，，则的长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识．利用勾股定理求得菱形的边长，再利用菱形的面积公式：，即可解决问题． 【规范解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据正方形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到坐标． 【规范解答】解：在正方形中， ∵对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是， ∴， 将正方形沿轴向右平移3个单位长度， ∴， 故答案为：． 14．（2025·上海普陀·二模）在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么的长等于 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．连接，，，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：连接，，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】26 【思路引导】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：26． 16．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，E为正方形内的一点，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，实数的运算，过点作于点，证明得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·广东梅州·期中）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，若四边形为正方形，矩形的长为17，正方形的边长为3，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【思路引导】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形面积的求解，根据题意得到，，再根据求出结果． 【规范解答】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：42． 18．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则 ． 【答案】7 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．由正方形的性质、轴对称的性质以及折叠的性质可得、，进而得到；如图：过点B作于点M，由等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；然后证明是等腰直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【规范解答】解：∵正方形的边长为13， ∴， ∵点为点A关于的对称点， ∴， ∴， 如图：过点B作于点M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)且，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 20．（本题6分）（2025·广西梧州·二模）如图，四边形是平行四边形，是边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）根据角平分线的画图步骤作图即可； （2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，，证明四边形是平行四边形，进一步可得结论. 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形. 【考点剖析】本题考查的是作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等角对等边，熟记判定定理是解本题的关键. 21．（本题8分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． (1)当时，依题意补全图1，并直接写出的度数：______； (2)在（1）的条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若，请直接写出线段的长：______． 【答案】(1)见详解， (2)，证明见解析 (3)或 【思路引导】（1）由题意画出图形； （2）过点作，交于点，证明，得出，，则可得出结论； （3）分两种情况，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【规范解答】（1）解：（1）由题意补全图形如下： 作点关于射线的对称点， ， 四边形是正方形， ， ， ， 故答案为：； （2）． 证明：过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）由对称可知， ， ， 当时，如图，由（2）可知； 当时，如图， 同理可得． 综上所述，的长为或． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（本题8分）（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】对于（1），根据平行四边形的性质得，可知四边形是平行四边形， 再根据平行线的性质和角平分线的定义得，然后说明,可得结论； 对于（2），①先说明四边形是正方形，可得，进而得出，再说明四边形是矩形，可得，接下来证明，可得，则答案可证； 对于②，取的中点M，连接，根据中位线的性质得，再根据正方形的性质得，进而求出，然后由（2）①得，结合直角三角形的性质得出答案. 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴. ∵平分, ∴. ∵， ∴, ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵，四边形是菱形, ∴四边形是正方形． 又∵O是的中点． ∴. ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴. ∵，，, ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即． ②解：如图，取的中点M，连接，则是的中位线． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． 又∵， ∴. 由（2）①得， ∴， 在中， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键. 23．（本题8分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】（1）证明是等腰直角三角形可得结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解； （3）在上截取，连接，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【规范解答】（1）证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴点F为的中点； （2）解：在 中，， ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴； （3）证明：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 又∵于F， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 24．（本题8分）（24-25八年级下·新疆伊犁·期末）如图，点O是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推出是等边三角形，再根据矩形的性质得到，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：连接，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 是等边三角形，， ， 在中，由勾股定理得，， ∴， ． 25．（本题10分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． 【数学思考】 如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． 【深入探究】 如图2，为“倍线平行四边形”，E是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长． ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 【答案】【数学思考】是“倍线平行四边形”，见解析；【深入探究】①；②见解析 【思路引导】数学思考： 由已知可得为菱形，又，故，由勾股定理可得 ，故，即故▱为“倍线平行四边形”； 深入探究： ①：由为“倍线平行四边形”可知，，设，则勾股定理求得， 进而勾股定理求得，根据含度角的直角三角形的性质得出； ②过点作的延长线于点，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，，即可得出，即可得证． 【规范解答】解：数学思考：是“倍线平行四边形”． 理由如下：在中，，． ， ， ， ， ， ， 是“倍线平行四边形”． 深入探究： ①是“倍线平行四边形”， ， ． 设，则． ，， ， ， ， ． 是的中点，且， ． ②如图，过点作的延长线于点，连接． ， ． ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ，． 又， ， ∴， ，， ， ， 是的中点． 【考点剖析】本题考查了新定义的含义，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 26．（本题10分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【思路引导】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$