第5章 章末复习课5 计数原理（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学章末复习讲义通过分模块系统梳理知识体系，先以“两个计数原理的简单应用”为基础，明确分类与分步的本质及应用思路，再通过“排列组合应用题”模块细化直接法、捆绑法、插空法、间接法等解题方法，最后结合“二项式定理及其应用”整合知识，各模块均配有例题解析，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“原理-方法-应用”递进式练习设计，如混合双打组队问题（分步乘法计数原理）、区域涂色问题（分类分步结合）、分配工作问题（特殊优先法）等实例，引导学生用数学思维分析问题，通过“先分类再分步”“特殊元素优先处理”等方法培养逻辑推理与运算能力。基础题帮助学生掌握原理，综合题提升高阶思维，教师可据此实施分层教学，助力学生自主构建知识网络。

章末复习课 一、两个计数原理的简单应用 1．使用两个原理解决问题的思路 (1)选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质． (2)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法． (3)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理． 2．使用两个原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． (2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． [例 1]　(1)有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成(　　) A．7队　　　　　　　B．8队 C．15队 D．63队 (2)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 [解析]　(1)由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． (2)从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种，故选C. [答案]　(1)D　(2)C 1． 如图所示，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路． (1)从A地到C地共有多少种不同的走法？ (2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？ (3)从A地到C地再回到A地，但返回时要走与去时不同的道路．有多少种不同的走法？ 解： (1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B地，第二类不经过B地．在第一类中分两步完成，第一步从A地到B地，第二步从B地到C地，所以从A地到C地的不同走法总数是3×4＋2＝14(种). (2)该事件发生的过程可以分为两大步：第一步去，第二步回．由(1)可知这两步的走法都是14种，所以去后又回来的走法总数是14×14＝196(种). (3)该事件发生的过程与(2)一样可分为两大步，但不同的是第二步即返回时的走法比去时的走法少一种，所以，走法总数是14×13＝182(种). 二、排列、组合应用题 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件： (1)类与类之间要互斥(保证不重复)； (2)总数要完备(保证不遗漏). 也就是要确定一个合理的分类标准，应按事件发生的连贯过程进行分步，分步时必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． 角度1　直接法(特殊优先、一般在后) 解含有特殊元素、特殊位置的排列组合问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置的元素，再考虑其他元素与其他位置，也就是在解题过程中的一种主次思想． [例 2]　分配5人完成5种不同的工作，如果甲不能完成第一种工作，乙不能完成第二种工作，那么共有多少种分配方法？ [解]　先满足特殊元素，即甲和乙分别不能完成第一和第二种工作，分三种情况： 第一类：甲、乙分别完成后三种工作中的一种，有AA种； 第二类：甲完成第二种工作，乙完成后三种工作中的一种，有CA种； 第三类：乙完成第一种工作，甲完成后四种工作中的一种，有CA种． 由分类加法计算原理知，不同的分配方法共有 AA＋CA＋CA＝78种． 角度2　捆绑法 “捆”的策略就是对元素进行整体处理的形象化描述，体现数学的整体思想．对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱． [例 3]　老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有________种． [解析]　要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，把男生和女生分别看成一个大元素进行处理．男生站在一起看成一个大元素，女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有A种排列．但4名女生、5名男生本身还有排列顺序要求．所以共有A·A·A＝5760种站队方式． [答案]　 5760 角度3　插空法 “插空”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段．在具体操作时，先对普通元素排列，然后将这些特殊元素“插入”普通元素的空隙之中，从而保证它们互不相邻． [例 4]　一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？ [解]　把两个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，则是用四个人把两个元素隔开的典型问题，基于这种考虑，就可先让四人坐在四个位置上，再让后两个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)选择被四人造成的五个“空隙”中的两个．这样有AA＝480种坐法． 角度4　间接法(排除法) 间接法是求解排列组合问题的常用方法．带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法(排除法)，即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数． [例 5]　从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答). [解析]　分2步完成：第一步，8名学生中选4人(至少有1名女生)，即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有C－C种选法； 第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有A种选法． 所以共有(C－C)·A＝(70－15)×12＝660种选法． [答案]　660 2．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定要担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共(CC＋CC)·A＝5400种选法． (2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840种选法． (3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3360种选法． (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种选法． 三、二项式定理及其应用 1．对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握“赋值法”，“赋值法”是解决二项式系数问题的一个重要方法． 2．求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求k，再求Tk＋1.有时还需先求n，再求k，才能求出Tk＋1. 3．对于二项式系数问题，应注意以下几点： (1)求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； (2)关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法． [例 6]　(1)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)已知的展开式中倒数第三项的系数为45. ①求含有x3的项； ②求系数最大的项． [解析]　(1)选C　在(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4； 令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. 两式相乘，得 (2＋)4·(－2＋)4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4). 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1. (2)①已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(不合题意，舍去)或n＝10. 故通项Tk＋1＝C(x－)10-k(x)k＝Cx－＋(0≤k≤10，k∈N)， 令－＋＝3，解得k＝6. 故含有x3的项是第7项，为T7＝Cx3＝210x3. ②∵的展开式中共有11项，且其二项式系数与项的系数相同， ∴系数最大的项是第6项， 为T6＝C(x－)5(x)5＝252x. 3．已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等． (1)求n的值； (2)求展开式中所有二项式系数的和； (3)求展开式中所有的有理项． 解：二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxn－k ＝Cxn－k(k＝0，1，2，…，n). (1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得 C＝C，即·n＝·， 解得n＝5. (2)展开式中所有二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝25＝32. (3)二项展开式的通项公式为，Tk＋1＝Cx5-(k＝0，1，2，…，5). 当k＝0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为T1＝Cx5＝x5， T3＝Cx2＝x2，T5＝Cx-1＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$