第3章 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦用向量方法研究立体几何位置关系这一核心知识点，系统梳理利用方向向量、法向量表示线线、线面、面面平行与垂直的向量语言，结合三垂线定理及其逆定理，通过问题导入、知识填空、例题解析等学习支架，帮助学生构建从向量表达过渡到定理应用的知识脉络。 资料以问题驱动和多题型示例为特色，通过向量运算推理培养数学思维，用向量语言精确描述空间关系发展数学语言能力。课中例题辅助教师高效授课，课后自主检测与课堂小结助力学生回顾强化，弥补知识盲点，提升空间观念与应用意识。

§4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 学习目标 素养要求 1.会用向量语言表达线线、线面、面面的平行、垂直关系． 2.理解并会应用三垂线定理及其逆定理． 1.通过利用向量语言描述直线与直线、直线与平面，平面与平面的垂直与平行关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2.通过对三垂线定理及其逆定理的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的位置关系 [问题]　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)； 答：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2. (2)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)； 答：∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即l∥α或l在α内． (3)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)； 答：∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)，∴v＝－3u，∴v∥u，即α∥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝. 答：∵u＝(1，－1，2)，v＝，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. ►知识填空 空间中平行关系、垂直关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 几何关系 向量语言 平行 线线平行 l∥m或l与m重合⇔l∥m 线面平行 l∥α或l⊂α⇔l⊥n1 面面平行 α∥β或α与β重合⇔n1∥n2 垂直 线线垂直 l⊥m⇔l⊥m 线面垂直 l⊥α⇔l∥n1 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2 知识点二　三垂线定理及其逆定理 [问题]　如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)BD⊥AC1吗？ 答：垂直． (2)l是平面ABCD内任意直线，若l⊥AC1，则AC⊥l吗？ 答：垂直． ►知识填空 1．三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直． (1)三垂线定理叙述的是平面内直线与平面的斜线及斜线在平面内的投影三者之间的垂直关系． (2)这里平面内的直线与平面的斜线可以相交，也可以异面． (3)三垂线定理及其逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明.　　 [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行.(　　) (2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.(　　) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　　) (4)两个(不重合)平面的法向量平行，则这两个平面平行，两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 解析：选B　a·b＝－2＋2＋0＝0， ∴a⊥b，∴α⊥β. 3．若直线的方向向量为u1＝，平面的法向量为u2＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时z＝________． 答案： 4．已知直线l的方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为________． 答案：l∥α或l⊂α 题型一　利用向量法证明平行关系 [例 1]　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则即 得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2). 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 则即 得 令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1，2). 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．　　 如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 解： 以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a＞0)，侧棱长为b(b＞0)，则A(0，0，0)，B，B1，C1(0，a，b)，D， ∴＝，＝，＝. 设平面DBC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a). 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n. 又AB⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 题型二　利用向量法证明垂直关系 [例 2]　如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 证明：法一：如图取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)， ∴＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)， 而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0. ∴⊥，⊥， 即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD. 法二：同证法一建立空间直角坐标系后， 设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令x＝1得z＝2，y＝－1， ∴平面GBD的一个法向量为(1，－1，2)， 显然＝(－1，1，－2)＝－n， ∴∥n，∴A1O⊥平面GBD. (1)证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量的数量积为零． (2)证明线面垂直有两种方法 一是利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直；二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证明． (3)证明面面垂直的两种方法 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.　　 在四棱锥S ­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明：由题意可知，AB，AD，AS两两垂直，故以AB，AD，AS为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AS＝AB＝1. 法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z). 易知＝(－1，1，0)，＝， ∴ 即 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0). ∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1). ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD. 题型三　三垂线定理及其逆定理的应用 [例 3]　在空间四边形ABCD中，已知A在平面BCD内的投影O1是△BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的投影O2必是△ACD的垂心． 证明：连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又∵AO1⊥平面BCD，∴BC⊥AD(三垂线定理). ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的投影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理). 同理，AO2⊥CD，故O2是△ACD的垂心． (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的投影，“三证”是证直线垂直于投影或斜线．　　 如 图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.证明：AC1⊥A1B. 证明　因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C， 故平面AA1C1C⊥平面ABC. 又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C. 如图，连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形， 故AC1⊥A1C. 由三垂线定理得AC1⊥A1B. [课堂小结] 1．向量法证明空间平行关系 (1)应用向量法证明线面平行问题的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． ②证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． ③证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行． (2)证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R). 2．向量法证明空间垂直关系 (1)线线垂直：两直线的方向向量互相垂直． (2)线面垂直：①证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直；②证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量． (3)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$