3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用向量方法研究立体几何位置关系，通过回顾平面向量中直线平行垂直的向量表示，结合问题链引导学生类比迁移，建立空间直线方向向量和平面法向量概念，搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点是采用小组合作将几何位置关系转化为向量语言，培养逻辑推理能力（数学思维），典例通过向量证明判定定理及三垂线定理，结合空间直角坐标系应用，提升数学抽象与建模意识（数学眼光、语言），助力学生深化转化思想，教师可借分层训练优化教学实施。

3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 掌握用直线方向向量、平面法向量判断空间线线平行、垂直，线面平行、垂直的方法. 通过几何语言与向量语言的转化，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 体会向量工具在立体几何中的简化作用，提升数学建模意识. 问题2：空间向量中，直线的方向向量和平面的法向量是如何定义的？ 知识回顾 设直线l、m的方向向量为， 问题1：在平面向量中，我们如何用向量关系描述两条直线的平行与垂直？ 直线的方向向量是与直线平行的非零向量； ①l∥m∥，即存在实数λ使 ②l⊥m 平面的法向量是与平面垂直的非零向量. 新知导入 直线与直线：平行、相交、异面； 问题3：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？ 问题4：在立体几何中，我们定性研究了直线、平面的平行与垂直关系，但如何定量且普适地分析这些位置关系呢？能否将平面向量的方法直接迁移到空间呢？ 可以，因为方向向量和法向量是确定直线、平面位置的关键因素. 要用量化的向量研究几何位置，需要先明确两个核心概念： ①直线的方向向量；②平面的法向量. 平面与平面：平行、相交. 直线与平面：平行、相交、直线在平面内； 新知探究 探究1：请小组合作，将下列几何位置关系转化为向量语言，并说明转化依据. 设向量,分别是直线的方向向量,分别是平面的法向量，尝试用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系 几何关系 向量语言 ∥ ∥ ∥ ⊥ 新知探究 问题1：设分别是直线的方向向量，如何用向量关系表示∥(或重合)？ 证明两条直线平行可以转化为证明这两条直线的方向向量是否共线. l∥m(或重合)∥，即存在实数λ使 问题2：设分别是直线的方向向量，如何用向量关系表示⊥？ l⊥m 证明两条直线垂直可以转化为证明这两条直线的方向向量的数量积为零. 问题3：若直线是异面直线，其方向向量要满足什么条件？ l,m异面 证明两条直线异面可以转化为证明这两条直线的方向向量不共线. 新知探究 问题4：设是直线的方向向量，是平面的法向量，如何用向量关系表示∥(或)？ 问题5：如何用向量关系表示⊥？ l⊥∥,即 l∥(或)∥，即 问题6：设是平面的法向量，如何用向量关系表示∥（重合）？ 问题7：如何用向量关系表示⊥？ ⊥∥,(即=0). ∥(或重合）∥，（即存在实数，使=) 新知探究 设向量分别是直线l，m的方向向量,分别是平面的法向量，则 l∥m或l与m重合∥; l∥或l∥; ∥或与重合∥; l⊥m⊥; l⊥⊥; ⊥⊥ 解：(1)因为 所以，因此; (2)因为 所以∥，因此∥. 即时训练1：已知，为两条不重合的直线 ， 的方向向量，判断下列各组中两条直线的位置关系是平行还是垂直： （1）=，=; （2）=，=; 例1 用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理 典例分析 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与平面垂直. 已知：如图，是平面内的两条相交直线，直线， 求证: 分析 设是平面内的任意一条直线.要证明只需证明.如何充分运用条件表达“是平面内的任意一条直线”呢?可以考虑将直线的方向向量用平面的一组基表示. 例1 典例分析 已知：如图，是平面内的两条相交直线，直线， 求证: 证明 设是平面内任意一条直线，依次为直线的方向向量， 因为直线相交， 所以向量不共线. 根据平面向量基本定理可知,在平面内存在唯一的实数对使得, 所以 故 因为 ⊥⊥ 所以,故. 所以. 例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理 典例分析 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两平面平行. 已知：如图，，是平面内的两条相交直线，且∥，∥. 求证: ∥ 证明 设向量,分别是直线,的方向向量. 因为∥，∥，所以∥，∥. 设是平面的法向量，则⊥，⊥. 因为直线,是平面内的两条相交直线，所以⊥ 所以∥. 例3 典例分析 已知：如图，，垂足为点，，，且. 求证: 证明 设是直线的一个方向向量， 则由⊥，可知. 因为⊥，， 所以⊥，即⊥， 又因为， 所以. 因此，即. A B C α l 本例所证明的结论，通常称为三垂线定理.这里，直线实际上是斜线在平面内的投影. 新知探究 三垂线定理 若平面内一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 追问：你能用向量的方法证明三垂线定理的逆定理吗？ 证明 设是直线的一个方向向量， 则由⊥，可知. 因为⊥，， 所以⊥，即⊥， 又因为， 所以. 因此，即. A B C α l 例4 典例分析 已知：如图，直三棱柱中，，，点分别为和的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面. 证明 由直三棱柱，可知平面， 又，故以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设，因为， 所以. 因为点分别为和B’C’的中点， 所以. 典例分析 (1)由图易知是平面的一个法向量. 又, 所以∥平面. 又平面, 所以∥平面. (2)依题意有. 设是平面的一个法向量， 则. 所以 不妨取，得，， 所以. 同理可得平面的一个法向量. 因为 所以平面⊥平面. 巩固训练 1.如图，在长方体 中，棱长, ，点E 是平面 上的动点，点是 的中点.试确定点 的位置，使 ⊥平面. 解 如图所示建立空间直角坐标系， 则. 设. 所以 . 因为平面, 所以 即 解得 所以即为所求. 巩固训练 2.已知：如图，点是正方体所在平面外一点，点 分别是和上的点，且. 求证：直线∥平面. P M N D A B C 证明 ， ， ， ， 所以与共面. 因为在平面内， 所以∥平面. 你能建立空间直角坐标系利用坐标来解决吗？ 基本知识： (1) 向量表示几何位置关系； (2) 三垂线定理； 基本方法： 几何问题 → 向量问题 → 课堂小结 (3) 三垂线定理的逆定理. 基本思想： (1) 类比思想； (2) 数形结合思想. 代数问题 → 几何结论 基础作业： 课本127页练习第4题，课本129页练习第2题，第4题 拓展练习： 习题3-4A组第15题. 布置作业 感谢聆听! $