第3章 4.2 第2课时 空间中直线、平面的垂直-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本高中数学讲义聚焦空间中直线、平面的垂直关系，系统梳理线线垂直（方向向量数量积为0）、线面垂直（方向向量与法向量共线）、面面垂直（法向量数量积为0）的向量表示及证明方法，结合三垂线定理构建知识支架。 资料以人民英雄纪念碑为导入激发兴趣，通过坐标法、基向量法等例题（如四棱台线线垂直证明）培养数学思维的推理与运算能力，设置探索性问题发展创新意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾方法、弥补知识盲点。

第2课时　空间中直线、平面的垂直 新课导入 学习目标 坐落在天安门广场上的人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！那么，纪念碑所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系？如何判定直线、平面的垂直关系是我们今天所要学习的内容． 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 知识点一　直线与直线垂直 思考　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直． [知识梳理] 1．线线垂直的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为l，m，则l⊥m⇔l⊥m⇔l·m＝0． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．简记为：和投影垂直，则和斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．简记为：和斜线垂直，则和投影垂直． [例1] (对接教材例6)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是一个正方形，AA1⊥平面ABCD，AD＝2A1D1＝2AA1，用向量法证明AD1⊥CD1. 【证明】　方法一：设＝a，＝b，＝c，由题设易知三个向量两两垂直，且|a|＝|b|＝2|c|， 则＝＋＝c＋b，＝＋＝＋＋＋＝－b－a＋c，所以·＝(c＋b)·(－b－a＋c)＝－b·c－a·c＋c2－b2－a·b＋b·c＝0， 所以AD1⊥CD1. 方法二：依题意，AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AA1＝1，则A(0，0，0)，D1(0，1，1)，C(2，2，0)，＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)，·＝0－1＋1＝0, 所以AD1⊥CD1. 证明线线垂直的方法 用向量证明空间中两条直线l1，l2互相垂直的主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种： (1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0. (2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0. [跟踪训练1] 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，PC＝PD，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角．求证：PB⊥PD. 证明：因为PC＝PD，O为CD的中点，所以PO⊥CD，由二面角A-CD-P为直二面角，知平面PCD⊥平面ABCD，又平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD， 所以PO⊥平面ABCD，因为CD＝2，PC⊥PD，PC＝PD，所以PO＝1， 取AB的中点E，连接OE，则OE⊥CD， 如图，以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则D(1，0，0)，B(－1，2，0)，P(0，0，1)， ＝(－1，2，－1)，＝(1，0，－1). 因为·＝－1＋0＋1＝0，所以PB⊥PD. 知识点二　直线与平面垂直 思考　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l⊥平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行(共线). [知识梳理] 设直线l的方向向量为l，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔l∥n⇔∃λ∈R，使得l＝λn． [例2] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证： (1)EF⊥平面B1AC； (2)A1C⊥平面AD1B1. 【证明】　(1)方法一：设＝a，＝c，＝b，连接BD(图略)，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c). 因为＝＋＝＋＝a＋b，所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0). 所以·＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1)×(－2)＋(－1)×2＋1×0＝0，所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法三：由方法二得＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1). 设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n，所以∥n，所以EF⊥平面B1AC. (2)由(1)方法二得，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，2，0)，＝(－2，2，－2). 又＝(0，2，2)，所以·＝(－2)×0＋2×2＋(－2)×2＝0， 所以⊥，即A1C⊥AB1. ·＝(－2)×2＋2×2＋(－2)×0＝0， 所以⊥，所以A1C⊥D1B1. 又因为AB1∩D1B1＝B1，AB1，D1B1⊂平面AD1B1，所以A1C⊥平面AD1B1. 证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线的方向向量，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线的方向向量与平面的法向量共线，从而证得结论． [跟踪训练2] 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2，AB⊥BC，CC1＝2，＝. 求证：CE⊥平面ABC1. 证明：以B为坐标原点，以BC ，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，E(0，0，)， 所以＝(0，－2，0)，＝(2，0，2)，＝(－2，0，)， 可得·＝0，·＝0， 所以CE⊥AB，CE⊥BC1， 又因为AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，所以CE⊥平面ABC1. 知识点三　平面与平面垂直 思考　如图，设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示：垂直． [知识梳理] 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． [例3] (对接教材例7(2))如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【证明】　由题意得BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，1)，C1(0，2，1)，E(0，0，)， 则1＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(－2，0，)， 设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则所以z1＝0，令x1＝1，得y1＝1，所以n1＝(1，1，0)， 设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1， 所以n2＝(1，－1，4)， 因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n1⊥n2，所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直． (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． [跟踪训练3] 如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 证明：以C为原点，CB，CE所在直线分别为y轴、z轴，平面ABC内过点C且垂直于BC的直线为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，则C(0，0，0)，A(，1，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)， 所以＝(，1，－2)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－1)，设平面ECA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)， 则 取x1＝1，则y1＝－，z1＝0，即平面ECA的一个法向量n1＝(1，－，0)，设平面DEA的法向量是n2＝(x2，y2，z2)， 则 取x2＝，则y2＝1，z2＝2，即平面DEA的一个法向量n2＝(，1，2)， 因为n1·n2＝1×＋(－)×1＋0×2＝0，所以n1⊥n2， 所以平面DEA⊥平面ECA. 应用点　垂直关系中的探索性问题 [例4] 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，M是CC1的中点．在线段BB1上是否存在一点Q，使AB1⊥平面A1MQ？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【解】　假设在线段BB1上存在一点Q，使AB1⊥平面A1MQ. 取BC的中点O，以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，过点O且平行于BB1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，BQ＝a(0≤a≤2)， 则M(0，－1，1)，A(，0，0)，B1(0，1，2)，A1(，0，2)，Q(0，1，a)， 所以＝(－，1，2)，＝(0，2，a－1)，＝(－，－1，－1). 显然·＝3－1－2＝0，则⊥，因为AB1⊥平面A1MQ，MQ⊂平面A1MQ，则⊥，·＝2＋2a－2＝0，解得a＝0，此时AB1⊥A1M，AB1⊥MQ，A1M∩MQ＝M，A1M，MQ⊂平面A1MQ，所以AB1⊥平面A1MQ. 所以在线段BB1上存在一点Q，使AB1⊥平面A1MQ，此时点Q为点B. 有关是否存在一点，使得直线与平面之间满足垂直的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线与平面的垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组).若方程(组)有解，则点存在；否则，点不存在． [跟踪训练4] 已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为，其中AB＝2A1B1＝4.在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A1D？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由． 解：依题意，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4， 所以上底面面积S1＝2×2＝4，下底面面积S2＝4×4＝16，设正四棱台的高为h，则(4＋＋16)h＝，解得h＝. 连接AC，A1C1，则AC＝4，A1C1＝2，再连接BD，B1D1，设正四棱台上、下底面的中心分别为O1，O，以O为原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(，0，)，D(0，－2，0)， B(0，2，0)， 假设线段CC1上存在一点P，使得BP⊥A1D，设＝λ(0≤λ≤1)，C1(－，0，)，C(－2，0，0)，＝(－，0，－)， 所以＝(－λ，0，－λ)， 则＝＋＝(－，－2，)＋(－λ，0，－λ)＝(－λ－，－2，－λ)，＝(－，－2，－)，因为BP⊥A1D，则·＝0，即－(－λ－)＋8－(－λ)＝0，解得λ＝－2，舍去， 所以在线段CC1上不存在一点P，使得BP⊥A1D. 1．已知平面α，β的法向量分别为a＝(1，－1，2)，b＝(5，－1，－3)，则这两个平面的位置关系为(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 解析：选C．因为a＝(1，－1，2)，b＝(5，－1，－3)，所以a·b＝1×5＋(－1)×(－1)＋2×(－3)＝0， 则a⊥b，所以α⊥β. 2．(多选)(2026·南昌月考)已知平面α及其法向量n，直线l，t及其方向向量a，b，则下面推理正确的是(　　) A．若l⊥α，t⊂α，则a⊥b B．若l⊥α，l∥t，则b∥n C．若l∥α，t⊂α，则a∥b D．若a⊥b，t⊥α，则a⊥n 解析：选ABD．对于A，l⊥α⇒a∥n，又t⊂α⇒n⊥b，故a⊥b，则A正确； 对于B，l⊥α⇒a∥n，又l∥t⇒a∥b，故b∥n，则B正确； 对于C，l∥α，t⊂α时，直线l与t可能为平行或异面关系，因此它们的方向向量a与b不一定平行，故C错误； 对于D，t⊥α⇒b∥n，又a⊥b，故a⊥n，则D正确． 3．已知u＝(2，a，b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，3，2)是平面α的法向量，如果l⊥α，则2a＋3b＝________． 解析：因为l⊥α，所以u∥n，所以存在实数λ，使得u＝λn，即(2，a，b)＝λ(1，3，2).所以2＝λ，a＝3λ＝3×2＝6，b＝2λ＝2×2＝4.可得2a＋3b＝2×6＋3×4＝12＋12＝24. 答案：24 4．如图，在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中，底面ADD1A1为直角梯形，AD∥A1D1，E，F，G分别为AD，A1E，C1D1的中点，AD＝2AB＝2AA1＝2A1D1＝2，用向量法证明：直线FG⊥平面A1BE. 证明：由题意知，AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，E(0，1，0)，F(0，，)，G(，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(，，). 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝(1，1，1)， 因为＝n，所以∥n，故直线FG⊥平面A1BE. 1．已学习：线线垂直、线面垂直与面面垂直的向量表示及应用． 2．须贯通：利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间垂直关系的对应，不要混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $