第3章 2 空间向量与向量运算（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

本高中数学讲义聚焦空间向量与向量运算核心知识点，以平面向量为基础，通过类比推广构建空间向量概念体系，系统梳理线性运算（加减、数乘）、数量积的定义及运算律，明确共线、共面向量充要条件，形成完整知识支架。 资料以问题链驱动探究，通过“平面到空间”类比培养数学抽象与逻辑推理素养，设置正方体、长方体等几何模型例题，强化数学运算能力。课中助力教师引导学生构建知识，课后自主检验与题型总结帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

§2　空间向量与向量运算 学习目标 素养要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3.掌握空间向量运算(线性运算、数量)的定义和运算律，并能综合应用． 1.通过类比的方法得到空间向量的概念和运算，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2.通过对空间向量的线性运算和数量积的几何意义的学习，培养数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　从平面向量到空间向量 [问题1]　平面内既有大小又有方向的量是什么？ 答：向量． [问题2]　有哪些特殊的平面向量？ 答：零向量、单位向量、相等向量、相反向量等． [问题3]　能否类比平面向量，定义空间中的向量呢？ 答：能． ►知识填空 1．空间向量的概念及表示 (1)与平面向量类似，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量．向量的大小叫作向量的长度或模． (2)空间向量也有两种表示法：一种用有向线段表示，另一种用a，b，c，…表示，书写用a→，b→，c→，…表示． 2．空间向量的模 表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，用|a|表示． 3．特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等 向量 方向相同且模相等的向量，如a＝b 自由 向量 数学中所研究的向量，与向量起点无关 相反 向量 方向相反且模相等的向量，a的相反向量用－a表示 零向量 规定模为0的向量记作0，零向量的方向为任意方向 共线 (平行) 向量 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，称这两个向量互为共线向量，规定0与任意的向量平行 共面 向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 知识点二　空间向量的线性运算 [问题1]　进行平面向量的加减法运算需要掌握哪两个法则？ 答：平行四边形法则和三角形法则． [问题2]　平面向量内使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ 答：利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，进行减法运算时，注意“共起点”．平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算． [问题3]　三角形法则和平行四边形法则适合空间向量的加减法运算吗？ 答：适合． ►知识填空 1．空间向量的线性运算 加 减 运 算 加法 减法 a＋b＝＋＝ a＋(－b)＝a－b＝ －＝＋ ＝＋＝ 运算律 (1)交换律a＋b＝b＋a； (2)结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数 乘 运 算 定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa λa的 长度与 方向 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，向量λa与向量a方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0 单位 向量 对于任意一个非零向量a，当λ＝时，λa＝表示与向量a同方向的单位向量 运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(其中λ∈R，μ∈R) 2.空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一实数λ，使a＝λb． (共线向量基本定理或一维向量基本定理) 如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb 知识点三　空间向量的数量积 [问题1]　平面内两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ 答：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 规定：0≤〈a，b〉≤π. [问题2]　平面向量的数量积是如何定义的？ 答：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos_〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉． [问题3]　能否类比平面向量的数量积，定义空间向量的数量积？ 答：能，因为空间中任意两向量共面． ►知识填空 1．两个向量的夹角 (1)夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量的夹角，记作〈a，b〉． (2)夹角的范围：[0，π_]． ①两个向量的夹角唯一，且〈a，b〉＝〈b，a〉； ②当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； ③当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反． (3)两个向量垂直，当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.规定：零向量与任意向量垂直． 2．空间两个向量的数量积 定义 已知两个空间向量a，b则|a||b|叫做a，b的数量积，记作cos_〈a，b〉，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．零向量与任意向量数量积为0. 性质 (1)cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)； (2)|a|＝； (3)a⊥b⇔a·b＝0 运 算 律 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 数乘向量 与向量数 量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 3.投影向量与投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于． (2)向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos 〈a，b〉＝＝a0·b．(其中a≠0，a0为与向量a同方向的单位向量) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间中，任意一个向量都可以进行平移.(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (4)a·b＝a·c且a≠0⇒b＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．化简－＋所得的结果是(　　) A．　　　　　　　　B． C．0 D． 答案：C 3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________． 解析：因为cos 〈a，b〉＝＝＝－. 所以〈a，b〉＝π. 答案：π 4．已知向量a，b满足|a|＝1，且a·b＝2，a与b的夹角为，则|b|＝________，b在a方向上的投影数量为________． 答案：4　2 题型一　空间向量的线性运算 [例 1]　 (1)(多选)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A．－－ B．＋－ C．－－ D．－＋ (2)化简(－)－(－)＝________． 解析：(1)A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB. (2)法一(转化为加法运算)： (－)－(－)＝－－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＋＝0. 法二(转化为减法运算)： (－)－(－) ＝(－)＋(－) ＝＋＝0. 答案：(1)AB　(2)0 1．解决空间向量线性运算问题的方法及技巧 进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 2．和空间向量的线性运算相关的结论． (1)位置向量：＝－. (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有＝＋＋. (3)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. (4)若O为空间中任意一点，则 ①点P是线段AB中点的充要条件是＝(＋)； ②若G为△ABC的重心，则＝(＋＋). 　　 1．若如图所示，在三棱锥O ­ABC中，点D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c　　　　　　B．a－b＋c C．a－b＋c D．－a＋b－c 答案：B 2．如图 ，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，M是线段AC′的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)－； (2)＋＋； (3)＋－. 解： (1)－＝＋＝＋＝； (2)＋＋＝； (3)＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.(向量，如图所示). 题型二　空间向量共线、共面问题 [例 2]　 (1)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线？ (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 解：(1)由已知可得，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＝－，所以＝－，故与共线． (2)证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面． (1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb(b≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb从而得出a∥b. (2)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． (3)向量共面：向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面．　　 1．已知空间向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　　　B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A　＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线． 2． 如图所示，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面． 证明：连接BG，EG，则＝，＝，＝(＋)，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋. 即向量，，共面， 故E，F，G，H四点共面． 题型三　空间向量的数量积及其应用 [例 3]　已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求： (1)·； (2)·； (3)AC1的长． 解： 如图所示，设＝a，AD＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2， |b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. (3)||2＝|＋＋AA1|2＝＋＋＝2×22＋42＝24，∴||＝2，即AC1的长为2. 在几何体中进行向量的数量积的计算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中注意适当的设向量，以简化步骤．　　 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：选A　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. [课堂小结] 本节课主要是在平面向量的基础上学习了空间向量的基本概念、线性运算和空间向量的数量积，加深了对空间向量的概念的理解，明确了空间向量和平面向量的区别和联系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$