第2章 章末复习课2 圆锥曲线（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末复习课 一、圆锥曲线的定义、方程和性质 1．圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 2．应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来． [例 1]　(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为12，则双曲线的标准方程为________． [解析]　 如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). ∵e＝＝2，∴c＝2a. 由双曲线的定义，得 ＝2a＝c， 在△PF1F2中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)， 即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.① 又S△PF1F2＝12， ∴|PF1||PF2|sin 60°＝12， 即|PF1||PF2|＝48.② 由①②，得c2＝16，c＝4， 则a＝2，b2＝c2－a2＝12， ∴所求的双曲线方程为－＝1. [答案]　－＝1 (2)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________． [解析]　法一：设M(x0，y0)，则|x0|＜a. ∵F1(－c，0)，F2(c，0)，∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0). ∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴x＋y＝c2.又y＝b2－x，∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2]，即c2∈[b2，a2]，∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥. 故椭圆的离心率e的取值范围是. 法二：设椭圆与y轴的一个交点为P， ∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥， 又e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围为. [答案]　 1．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0　　　　　　B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：选A　椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝·＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.故选A. 2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选D　由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐远线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝. 二、直线与圆锥曲线的位置关系 讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题． [例 2]　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． [解]　(1)依题意可设椭圆方程为 ＋y2＝1(a＞1)，则右焦点F(，0)， 由题设，知＝3， 解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1. (2)设点P为弦MN的中点， 由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＞0，即m2＜3k2＋1，① 所以xP＝＝－， 从而y0＝kxP＋m＝， 所以kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN， 则－＝－，即2m＝3k2＋1，② 把②代入①得2m＞m2， 解得0＜m＜2， 由②得k2＝＞0，解得m＞， 故所求m的取值范围是. 3．设抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋k所得弦长|AB|＝3. (1)求k的值； (2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得4x2＋4(k－1)x＋k2＝0， Δ＝16(k－1)2－16k2＞0，∴k＜ . 又由根与系数的关系有x1＋x2＝1－k，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝· ＝·， 即＝3，∴k＝－4. (2)设x轴上点P(x，0)，P到AB的距离为d， 则d＝＝， S△PAB＝·3·＝39， ∴|2x－4|＝26，∴x＝15或x＝－11. ∴P点坐标为(15，0)或(－11，0). 三、圆锥曲线的综合问题 角度1　圆锥曲线中的定点、定值问题 在几何问题中，有些几何量与参数无关，就构成了定点与定值问题．求解圆锥曲线中的定点定值问题的基本策略是“大处着眼、小处着手”，从整体上把握问题给出的综合信息，选择解题的思路，注意运用待定系数法、定义法等数学方法．如果题目中没有告诉定点定值，可考虑用特殊图形(特殊点、特殊直线等)进行探求，再就一般情况进行推证，如果定值已经给出，可设参数，通过运算推理，参数必消，定值显露． [例 3]　已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，直线y＝kx＋2与F交于A，B两点，且·＝2，其中O为原点． (1)求抛物线E的方程； (2)点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值． [解]　(1)将y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0，其中Δ＝4p2k2＋16p＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4. 由已知，－4p＋4＝2，p＝， 所以抛物线E的方程为x2＝y. (2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2. k1＝＝＝＝x1－x2. 同理k2＝x2－x1，所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16. 角度2　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的量值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决． [例 4]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． [解]　(1)设椭圆的半焦距为c， 依题意有 所以所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). ①当AB⊥x轴时，|AB|＝. ②当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知＝，得m2＝(k2＋1). 把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得 (3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋k2) ＝ ＝ ＝3＋＝3＋(k≠0) ≤3＋＝4. 所以|AB|≤2，故△ABO的面积最大值为 |AB|·h＝×2×＝. 4．已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0，2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的两点A，B，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k. (1)求k的取值范围； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点Q(2，0). 解：(1)由题设可知k≠0， 所以直线m的方程为y＝kx＋2， 与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜. 直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立， 整理，得y2＋4ky－8k＝0， 由Δ 2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2. 所以 故k的取值范围为. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 由①，得y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－， 则M. 同理可得N(2k2＋2k，－2k). 直线MQ的斜率kMQ＝＝－. 直线NQ的斜率kNQ＝＝－＝kMQ， 所以直线MN过定点Q(2，0). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$