第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 学习目标 素养要求 1.在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，会求弦长和中点问题． 2.综合利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决范围与最值，定点与定值问题． 通过解决直线与圆锥曲线的综合问题，提升数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　直线与圆锥曲线的综合问题 ►知识填空 1．圆锥曲线的弦及弦长公式 (1)圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． (2)弦长公式 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： ①交点法：将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两点A，B的坐标，利用两点间的距离公式得弦长，即 |AB|＝. ②公式法：在Δ＞0的前提下，若直线l的斜率k存在，则 |AB|＝ ＝|x2－x1| ＝， 当直线l的斜率存在且不为零时， |AB|＝ ＝|y2－y1| ＝； 若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y2|＝． 2．中点弦问题的解法 在直线与圆锥曲线有两个公共点的前提下，解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： (1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解． (2)点差法：设出直线l与圆锥曲线．C的交点坐标A(x1，y1，)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系． [自主检验] 1．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A．　　　　　　B． C． D． 答案：C 2．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B．2 C．6 D．4 答案：D 3．(多选)已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 答案：AD 4．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB中点的坐标为(2，2)，则直线l的方程为________． 答案：y＝x 题型一　中点弦及弦长问题 [例 1]　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． 解：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 而＝－1，＝kOC＝， 代入上式可得b＝a. ∵|AB|＝|x2－x1|＝2，即(x2－x1)2＝4，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根． 又∴(x1＋x2)2－4x1x2＝(x2－x1)2＝4， ∴－4·＝4. 将b＝a代入，解得a＝，b＝， ∴所求椭圆的方程是＋y2＝1. 法二：由 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ ＝·. ∵|AB|＝2，∴＝1.① 设C(x，y)，则x＝＝， y＝1－x＝. ∵OC的斜率为，∴＝， 代入①，解得a＝，b＝， ∴所求椭圆的方法是＋y2＝1. 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意．　　 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B.若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m＝________． 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，∴线段AB的中点坐标为(m，2m).又∵点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，∴5m2＝5，∴m＝±1. 答案：±1 题型二　圆锥曲线中的最值、范围问题 [例 2]　在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值． 解：(1)由题意得∴ ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立 得3x2－4mx＋2m2－6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴ ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ， 当m＝0时，满足Δ>0，|AB|max＝4. 求解圆锥曲线中最值、范围问题的一般方法 (1)构建含变量的不等式(组)，通过解不等式(组)求变量的取值范围．基本途径有：①由直线与圆锥曲线相交，联立方程组成方程组并消元，利用判别式及根与系数的关系构建关于变量的不等关系；②利用图形构建关于变量的不等关系(如三角形两边之和大于第三边，点到直线的距离不大于点与直线上点之间的距离等). (2)构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围． (3)对于求具有直观几何意义的变量的取值范围或最值的问题，则可通过数形结合，利用图形的几何性质求解．　　 若在抛物线y2＝2x上存在相异两点关于直线l：y＝m(x－2)对称，求m的范围． 解： 如图．当m＝0时，直线l：y＝0恰好是抛物线的对称轴．满足题设条件． 当m≠0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上关于直线l对称的两点． PQ中点是M，设直线PQ方程是y＝－x＋b，由消去x得y2＋2my－2mb＝0.(*) ∵方程(*)有两个不等实根， ∴Δ＝4m2＋8mb＞0⇒m2＋2mb＞0.① y1＋y1＝－2m，x1＋x2＝2mb－m(y1＋y2)＝2mb＋2m2， ∴M(mb＋m2，－m)，由M点在直线l上得： －m＝m(mb＋m2－2)⇒b＝.② 把②代入①，得m2＜2⇒－＜m＜，且m≠0. 综合可知，所求m的范围是(－，). 题型三　圆锥曲线中的定点、定值问题 [例 3]　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． (1)求C的方程； (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标． 解：(1)由题意知焦点F的坐标为. 设D(t，0)(t＞0)，则FD的中点为. 因为|FA|＝|FD|， 由抛物线的定义知3＋＝， 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去). 由＝3，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由(1)知焦点F的坐标为(1，0). 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(x0＞0). 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由xD＞0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)， 故直线AB的斜率kAB＝－. 因为直线l1和直线AB平行， 设直线l1的方程为y＝－x＋b， 代入抛物线方程得y2＋y－＝0， 由题意Δ＝＋＝0，得b＝－. 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝. 当y≠4时，kAE＝＝＝， 可得直线AE的方程为 y－y0＝(x－x0). 由y＝4x0， 整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1，0). 当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0). 1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 2．圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.　　 已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为α，点F为抛物线的焦点，求证； (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值． 证明：(1)∵焦点为F，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，由，得ky2－2py－kp2＝0.∴y1y2＝－p2，x1x2＝·＝＝＝. 当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝， 则y1＝p，y2＝－p⇒y1y2＝－p2，x1x2＝·＝. (2)由焦半径公式知，|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋， ∴＋＝＋ ＝. 又x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式得＋＝＝为常数，故＋为定值． [课堂小结] 1．解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法 (1)根与系数关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元方程，如果方程的二次项系数不为0，则利用根与系数的关系及中点坐标公式建立等式求解． (2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦AB的中点与斜率的关系．这种方法体现了设而不求以及整体代换的思想．注意，结果要检验，否则会产生错解． 2．圆锥曲线中的最值与范围、定点与定值问题 综合性强，能力要求高．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想；其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$