第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 §4.1　直线与圆锥曲线的交点 学习目标 素养要求 1.会求直线与圆锥曲线的交点． 2.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系． 1.通过求直线与圆锥曲线的交点．培养数学运算的核心素养． 2.通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　直线与圆锥曲线的交点 [问题]　(1)直线和圆的位置关系有几种？ 答：三种：相交，相切，相离． (2)如何通过直线方程，圆锥曲线对应的方程探讨直线与圆锥曲线的交点？ 答：可以联立它们的方程，通过方程的解的问题，来探讨直线与圆锥曲线的交点问题． ►知识填空 直线与圆锥曲线的交点个数 通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系．由此可知，直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的个数是相同的． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与椭圆公共点的个数最多有2个．(　　) (2)直线与抛物线有唯一公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(　　) (3)直线与双曲线有唯一公共点，则直线与双曲线相切．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．直线y＝3x－1与椭圆＋＝1的公共点的个数是(　　) A．0　　　　　　　B．1 C．2 D．无数个 答案：C 3．直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则实数k＝________． 解析：根据题意，直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1， 消去y整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， ∵Δ＝0，∴k＝±； 又注意到直线恒过点(0，－1)且渐近线的斜率为±1，与渐近线平行时也成立．故答案为：±或±1. 答案：±或±1 4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0， 由题意知Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1. 综上，k＝0或1. 答案：0或1 题型一　直线与椭圆的交点问题 [例 1]　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝114. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点． (3)有两个公共点？ 解：由消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)当Δ＝0时，m＝±5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点； (2)当Δ＞0时，得－5＜m＜5，直线l与椭圆有两个公共点； (3)当Δ＜0时，得m＜－5或m＞5，直线l与椭圆无公共点． 直线与椭圆的位置关系的判断方法 把椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)与直线方程y＝kx＋m联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有： (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点，称直线与椭圆相交； (2)Δ＝0，直线与椭圆有唯一公共点，称直线与椭圆相切； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点，称直线与椭圆相离．　　 1．若直线y＝2x＋m与椭圆＋＝1有唯一公共点，则实数m＝________． 解析：由 得关于x的一元二次方程9x2＋8mx＋2m2－4＝0， Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. Δ＝0⇔有唯一公共点，即m＝±3. 答案：±3 2．判断直线l：y＝x＋2和椭圆2x2＋3y2＝6是否有公共点． 解：由 得2x2＋3＝6， 即x2＋2x＋6＝0. Δ＝(2)2－4××6＝24－60＝－36<0. 因此直线与椭圆没有公共点． 题型二　直线与双曲线的交点问题 [例 2]　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：由消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*) 当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故方程(*)有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). ①即－＜k＜，且k≠±1时， 方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点． ②即k＝±时，方程(*)有唯一实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点． ③即k＜－或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，①当－＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点． ②当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点． ③当k＜－或k＞时，直线与双曲线没有公共点． (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.　　 1．(变条件)本例中直线和双曲线的方程不变，若直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则实数k的取值范围是________． 解析：联立方程消去y后整理得 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*) 依题意方程(*)有一正一负两个实数， 即解得－1＜k＜1. 答案：(－1，1) 2．直线y＝b与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右支分别交于B，C两点，若OB⊥OC，O为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为________． 解析：直线y＝b与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右支分别交于B、C两点，联立 可得B(－a，b)，C(a，b). 因为OB⊥OC， ∴·＝－2a2＋b2＝0， 即2a2＝b2，b＝±a， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 答案：y＝±x 题型三　直线与抛物线的交点问题 [例 3]　当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 解：由得k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0. 当k＝0时，方程化为一次方程，－4x＋4＝0， 该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解 ∴直线y＝－2与抛物线只有一个公共点； 当k≠0时， 二次方程的Δ＝4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2＝－16(k2－2k－1). 当Δ＞0时，得k2－2k－1＜0，1－＜k＜1＋， ∴当1－＜k＜0或0＜k＜1＋时， 直线与抛物线有两个公共点； 由Δ＝0得k＝1±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由Δ＜0得k＜1－或k＞1＋，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当k＝0或k＝1±时，直线与抛物线仅有一个公共点；当1－＜k＜0或0＜k＜1＋时，直线与抛物线有两个公共点；当k＜1－或k＞1＋时，直线与抛物线无公共点． 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．　　 1．过点(0，－1)的直线与抛物线x2＝－2y公共点的个数为________． 解析：因为点(0，－1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2. 答案：1或2 2．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 解析：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0<k≤1. 因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. 答案：[－1，1] [课堂小结] 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$