第2章 2.1 双曲线及其标准方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2　双曲线 §2.1　双曲线及其标准方程 学习目标 素养要求 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题． 1.通过双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过双曲线标准方程以及与双曲线有关的轨迹问题的探究，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　双曲线的定义 [问题]　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 答：曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． ►知识填空 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线． 这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 知识点二　双曲线的标准方程 [问题1]　双曲线的标准方程是左右两侧各具有怎样的结构特征？ 答：双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1. [问题2]　类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2的分母大小来判断双曲线焦点的位置吗？ 答：双曲线的焦点位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分． [问题3]　双曲线方程中a与b，c的关系是怎样的？ 答：a与b的大小关系不确定，a＜c，且a，b，c满足b2＝c2－a2. ►知识填空 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c的 关系式 a2＋b2＝c2 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线．(　　) (2)对于双曲线标准方程，三个参数a，b，c中，最大的一定是c.(　　) (3)方程－＝1(mn＞0)表示的曲线一定是双曲线．(　　) (4)在双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)中，必有a＞b＞0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知点F1(－4，0)，F2(4，0)，曲线上的动点P到F1，F2的距离之差为6，则曲线方程为(　　) A．－＝1(x＞0)　　　B．－＝1 C．－＝1(y＞0) D．－＝1 答案：A 3．双曲线－＝1的焦距为(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 答案：D 4．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 解析：设双曲线的两个焦点为F1，F2， |PF1|＝3，所以P在靠近F1的一支上． 因为|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9. 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案：9 题型一　双曲线定义的应用 [例 1]　若F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：(1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知，||MF2|－16|＝6， 即|MF2|－16＝±6， 解得|MF2|＝10或|MF2|＝22. (2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理得 |PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16. 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有： (1)定义：|r1－r2|＝2a； (2)余弦定理：4c2＝r＋r－2r1·r2cos θ； (3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．　　 已知双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m　　　　　B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 解析：选B　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m. 题型二　求双曲线的标准方程 [例 2]　据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16). ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). ∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. [反思感悟] 双曲线标准方程的两种求法 定义法 根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程 待定系 数法 先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可 　　[提醒]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程． 解：已知双曲线－＝1，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5. 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0). 依题意，c＝5， 所以b2＝c2－a2＝25－a2， 故双曲线方程可写为－＝1， 因为点P在双曲线上， 所以－＝1. 化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝. 又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24. 所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 题型三　与双曲线有关的轨迹问题 [例 3]　 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解： 以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0). 由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径). 因为2sin A＋sin C＝2sin B， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝|AB|＝2＜|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). 因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为－＝1(x＞). 求与双曲线有关的轨迹问题的常用方法 (1)列出等量关系，化简得到方程，注意化简变形的等价性． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． [提醒]　检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．　　 1．(多选)当α∈时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是(　　) A．两条直线　　　　　　B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选ACD　当α∈时， sin α∈，cos α∈. ①当sin α＞0，cos α＞0时，可得方程x2sin α＋y2 cos α＝1表示椭圆． ②当sin α＞0，cos α＜0时，表示双曲线． ③当sin α＝1，cos α＝0时，可能是两条直线．故选ACD. 2．动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 解析：设动圆半径为R， 因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切， 所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， 所以|MC1|－|MC2|＝4. 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支， 且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， 所以所求轨迹方程为－＝1(x≥2). 答案：－＝1(x≥2) [课堂小结] 1．双曲线定义的理解 (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点， 若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上； 若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上． (2)双曲线定义的双向运用 ①若＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线； ②若动点M在双曲线上，则＝2a. 2．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$