第2章 1.1 椭圆及其标准方程（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

本高中数学讲义聚焦椭圆及其标准方程，通过动手操作引出定义，梳理平面内到两定点距离和为常数（大于焦距）的点的轨迹，推导焦点在x轴或y轴上的标准方程，明确a,b,c关系，构建从定义到方程的学习支架。 该资料以问题驱动自主探究，通过定义辨析、方程推导等环节培养数学抽象与逻辑推理能力，例题分层训练提升数学运算素养。课中助力教师高效教学，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

　圆锥曲线 §1　椭　圆 §1.1　椭圆及其标准方程 学习目标 素养要求 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决有关问题． 2.掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程，会求椭圆的标准方程． 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养． 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　椭圆的定义 [问题1]　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？ 答：固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离即可._ [问题2]　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 答：到两个定点的距离和等于常数． [问题3]　在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ►知识填空 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的对称性 椭圆是轴对称图形，直线F1F2及线段F1F2的垂直平分线都是它的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的中点是它的对称中心． 知识点二　椭圆的标准方程 [问题1]　根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系求椭圆的方程？ 答：以两定点F1，F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为坐标原点建立坐标系，然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程． [问题2]　建系时，如果把焦点放在y轴上，是不是能得到另外一种形式的椭圆？ 答：是． ►知识填空 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 续表 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c，)，(0，c) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 [拓展]　 (1)a2＝c2＋b2，a＞b＞0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”． (2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型． (3)椭圆的焦点三角形 设P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形． ①焦点三角形的面积，S＝b2 tan . ②焦点三角形周长L＝2a＋2c. (这是边文，请据需要手工删加) (这是边文，请据需要手工删加) 数学　选择性必修第一册(BS)(这是双页眉，请据需要手工删加) 第二章　圆锥曲线(这是单页眉，请据需要手工删加) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆．(　　) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上．(　　) (3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)不一定表示椭圆．(　　) (4)两种椭圆的标准方程中，有时a＞b＞0，有时b＞a＞0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　) A．(5，0)，(－5，0) B．(0，5)，(0，－5) C．(0，12)，(0，－12) D．(12，0)，(－12，0) 答案：C 3．(多选)以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0，2)的椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1　　　　　B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：AB 4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 答案：(－6，－2)∪(3，＋∞) 题型一　对椭圆标准方程的理解 [例 1]　(1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9，25)　　　B．(－9，8)∪(8，25) C．(8，25) D．(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________． 解析：(1)依题意有 解得－9＜m＜8或8＜m＜25， 即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25). (2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1， 依题意有解得m＜－， 即实数m的取值范围是. 答案：(1)B　(2) (1)给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. (2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．　　 已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程如a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上，实数m的值为4或. 答案：4或 题型二　求椭圆的标准方程 [例 2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)； (2)经过两点(2，－)，. 解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由椭圆的定义知2a＝ ＋ ＝12，所以a＝6.又c＝2，所以b＝ ＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1 法二：因为椭圆的焦点在y轴上， 所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0) 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 同理可得，焦点在y轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B). 将两点(2，－)，代入，得 解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. [反思感悟] 1．求椭圆标准方程的方法 方法 内容 适合题型或条件 定义法 分析条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定方程 动点满足|MA|＋|MB|＝2a，且2a＞|AB| 待定 系数法 由题设条件能确定方程类型，设出标准方程，再代入已知数据，求出相关参数 ①已知椭圆上的点的坐标； ②已知焦点坐标或焦点间距离 　　2.椭圆标准方程的设法技巧 当椭圆的焦点位置不确定时，可设方程为＋＝1(m＞0，n＞0且m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)，这种形式在解题中较为方便． 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)经过点P和点Q. 解：(1)由于椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)， ∴⇒ 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则∴ ∴椭圆方程为x2＋＝1. 题型三　椭圆定义的应用 [例 3]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求： (1)△PF1F2的面积； (2)求点P的坐标． 解：(1)由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|＝.∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝， 即△PF1F2的面积是. (2)设P(x，y)，由(1)知S△PF1F2＝， 又S△PF1F2＝|F1F2||y|＝×2|y|， 所以|y|＝， 代入椭圆方程＋＝1得x＝±， 又因为点P在第二象限， 所以点P的坐标为. 1．椭圆定义的应用 (1)实现两个焦点半径之间的相互转化． (2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想 对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝ab sin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量.　　 1．若点P在椭圆C：＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　) A.　　　　　　　　　　　B．3 C.4 D．1 解析：选D　∵椭圆C：＋y2＝1， ∴a2＝4，b2＝1.可得c＝， 因此Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2， 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝12，① 根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，② ①②联立，可得|PF1|·|PF2|＝2， ∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1. 故选D. 2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为________． 解析：由椭圆方程＋＝1知a＝5，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，令|PF1|＝5，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝5. 答案：5 [课堂小结] 1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n). 2．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件． 3．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$