2.1.1椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 复习引入 将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 点我！ 实验探究1 将一条绳子的两端分别固定在两个定点F1、F2处，用笔尖勾直绳子，在纸上慢慢移动一周，请思考以下问题： 问题2：在画图过程中，不变的量有哪一些？ 问题1：笔尖画出的轨迹是什么图形？ F1 F2 P 问题3：类比圆的定义，你能否给椭圆 下个定义呢？ 点我！ 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 的点的集合叫做椭圆。 一、椭圆的定义 （大于|F1F2|） 问题4：在画图过程中，绳子的长度和F1、F2两点间的距离有什么大小关系？ 问题5：当绳长和F1、 F2之间的距离相等（2a=2c ）时，点P的轨迹是什么图形？ 问题6：当绳长小于F1、 F2之间的距离（2a < 2c ）时，点P的轨迹是什么图形？ 实验探究2 线段F1F2 无轨迹图形 F1 F2 P P F1 F2 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 的点的集合叫做椭圆。 焦点： 焦距： |F1F2|=2c F1 ，F2 |PF1|+|PF2|=2a （2a>|F1F2|） 一、椭圆的定义 2a （大于|F1F2|） 注： （1）当绳长>|F1F2|时，P点轨迹是椭圆 （2）当绳长=|F1F2|时，P点轨迹是线段F1F2 （3）当绳长<|F1F2|时，无轨迹 二、椭圆的标准方程 以两定点F1 、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 设P（x,y） ①建系： 设点： 写出符合条件的P点的集合： {P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|} 原则： 保证图形的对称性。 ② ③用坐标表示： （x,y） (-c,0) (c,0) F1(-c,0) F2(c,0) 设 移项 平方 再平方 ⑤验证 ④化简： 二、椭圆的标准方程 标准方程 图像 焦点坐标 a,b,c的关系 y x o F 2 F 1 P a2=b2+c2 哪个分母大，焦点在相应的坐标轴上 焦点在___轴上 焦点在___轴上 x y 三、例题讲解 例1：判断下列方程所表示的曲线是否为椭圆？若是，请确定a，b，c值，并求出椭圆的焦点坐标。 哪个分母大，焦点在相应的哪条坐标轴上 椭圆标准方程的分母不相等 椭圆标准方程的分母大于0 化为标准方程 例2：两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于20，求椭圆的标准方程。 解： 求满足焦点坐标为（0，-2）（0，2），并且过点 的椭圆的标准方程 ① ② 由 得：a2=10,b2=6 ① ② 四、随堂练习 如图所示，已知B，C是x轴上的两个点，|BC|=10，且 ABC的周长等于22，求顶点A的轨迹方程 解：由已知得： |AB|+|AC|+|BC|=22，|BC|=10，得： |AB|+|AC|=12 由定义可知点A的轨迹是一个椭圆， 且 2c=10 2a=12 即 c=5 a=6 所以b2=a2-c2=11 又因为，当点A在X轴上时，即y=0时， A，B，C三点不能构成三角形 因此，点A的轨迹方程是： 四、随堂练习 -5 5 五、课堂小结 01 椭圆的定义 02 椭圆的标准方程 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。 焦点在x轴上 焦点在y轴上 课后提升： 如图所示，已知动圆P 过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解　设动圆P 和定圆B内切于点M，动圆 圆心P 到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和 恰好等于定圆半径， 即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|， 所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆， 其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7， 谢 谢 其轨迹方程为＋＝1. $$