第1章 2.4 圆与圆的位置关系（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置类型，通过问题引导自主构建几何判定（圆心距与半径关系）和代数判定（联立方程判别式）方法，结合知识填空与自主检验搭建从概念到应用的学习支架。 资料以问题驱动式梳理和题型分层设计为特色，通过例1配方求圆心半径并判断位置关系培养数学运算与逻辑推理，例2求公共弦方程及长度发展直观想象。课中助力教师高效授课，课后自主检验与变式训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

§2.4　圆与圆的位置关系 学习目标 素养要求 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.掌握两圆相交或相切时简单的几何性质，并能综合应用． 1.通过学习圆与圆的位置关系，培养直观想象的核心素养． 2.借助圆与圆的位置关系的判断，培养数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　圆与圆的位置关系 [问题1]　圆与圆的位置关系有几种？ 答：有相离(外离和内含)、相交和相切(内切和外切)三种． [问题2]　如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？ 答：设两圆的连心线长为d，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含． [问题3]　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ＞0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ＜0时，两圆外离或内含． ►知识填空 1．平面内两个不等的圆之间的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切、内含． 2．当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有3种：外离、外切和相交． 3．圆与圆位置关系的判定 圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r(r1＞0)，圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r(r2＞0)，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝，则有： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图 示 d与 r1， r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆外离.(　　) (2)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　) (3)两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线．(　　) (4)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r＝(　　) A．　　　　　　　　　　B．5 C． D．2 答案：C 3．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．－5 B．－2 C．2 D．5 解析：选AC　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5. 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________． 答案：x＋3y＝0 题型一　两圆位置关系的判定 [例 1]　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝ ＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内合． 圆与圆位置关系的判定及方法,两圆,位置,关系,的判,断方,法　) 　④由判别式Δ＞0得两圆相交 由判别式Δ＝0得两圆内切或外切 由判别式Δ＜0得两圆外离或内含　　 　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50). 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或|－1|＞5， 即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离． 题型二　圆与圆的相交问题 [例 2]　已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝. 又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋， |r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)法一：由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3， ∴公共弦长为l＝2＝2＝2. 法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 ∴|AB|＝ ＝2. 即公共弦长为2. (1)求两圆的公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程．再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).　　 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________． 解析：由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1，1)，其到直线l的距离为d＝＝，由条件知，r2－d2＝－＝，所以弦长为2×＝. 答案： 题型三　圆与圆的相切问题 [例 3]　(1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相外切，则m＝________． (2)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解析：(1)因为x2＋y2－6x－8y＋m＝0 ⇒(x－3)2＋(y－4)2＝25－m， 所以25－m＞0⇒m＜25，且圆C2的圆心为(3，4)，半径为，根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ＝1＋⇒m＝9. 答案：9 (2)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则 ＝r＋1，① ＝，② ＝r.③ 联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2， 或a＝0，b＝－4，r＝6， 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或x2＋(y＋4)2＝36. 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).　　 过点A(4，－1)，且与圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝5相切于点B(1，2)的圆的标准方程为________． 解析：设所求圆的圆心M(a，b)，半径为r， 已知圆的圆心为C(－1，3)， 因为切点B在连心线上，即C，B，M三点共线， 所以＝，即a＋2b－5＝0.① 由于AB的垂直平分线为x－y－2＝0，圆心M在AB的垂直平分线上，所以a－b－2＝0.② 联立①②解得 故圆心坐标为M(3，1)，r＝|MB|＝， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－3)2＋(y－1)2＝5 [课堂小结] 1．判断两圆的位置关系的方法 (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系． 2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程；求公共弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$