第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦选择性必修第一册第三章“空间向量与立体几何”，核心涵盖空间向量基本定理及坐标运算（加法、减法、数乘、数量积）。通过课前预习（单位向量、三元有序实数组）导入，衔接平面向量知识，以定义、公式为支架构建空间向量学习脉络。 其特色在于“课前预习—课堂互动—课时作业”完整学习链，结合数学思维（逻辑推理坐标运算规律）与数学语言（符号表达运算公式），如清晰呈现向量数量积公式\(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)。助力学生强化运算能力与空间观念，为教师提供结构化资源，提升教学效率。

第三章　空间向量与立体几何 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 §3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 §3.1 空间向量运算的坐标表示及应用 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十一） Part 03 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 互相垂直的单位向量 {i，j，k} 唯一 xi＋yj＋zk 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 唯一 xi＋yj＋zk 空间向量 三元有序实数组 (x，y，z) (x，y，z) 坐标向量 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1)λ∈R x1x2＋y1y2＋z1z2 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 课时作业（二十一） 点击进入word 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第三章　空间向量与立体几何 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．2.掌握空间向量的长度、夹角的坐标表示，并能熟练应用． 1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的探究，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养．2.借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算、直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　空间向量运算的坐标表示 [问题1]　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基，任作一向量 eq \o(OA,\s\up15(→))，根据平面向量基本定理， eq \o(OA,\s\up15(→))＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ 答：相同． [问题2]　如果向量 eq \o(OA,\s\up6(→))也用(x，y)表示，那么这种向量 eq \o(OA,\s\up6(→))与实数对(x，y)之间是否一一对应？ 答：一一对应． [问题3]　空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有什么不同？ 答：空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，算法是相同的，但空间向量比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的． ►知识填空 1．标准正交基 在空间直角坐标系O­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个 就构成空间向量的一组基 ，这组基叫作标准正交基． 2．空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在 的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝ ． 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到 的一个向量p＝ 与之对应．这样，就在 与 之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组 叫作向量p在标准正交基{i，j，k)下的坐标，记作p＝ ．单位向量i，j，k都叫作 ． 3．空间向量运算的坐标表示 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 λa＝ 数量积 a·b＝ 4.空间向量的坐标表示及长度 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1) eq \o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－y1)； (2)dAB＝| eq \o(AB,\s\up15(→))| ＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2). 知识点二　空间向量平行与垂直、长度与夹角的坐标表示 [问题]　空间向量的平行、垂直的条件、夹角公式与平面向量的有何不同？ 答：无论是平面向量a和b还是空间向量a和b，用a和b表示的平行与垂直条件、夹角公式形式都是一样的．但是用坐标表示时，空间向量多了一个竖坐标． ►知识填空 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 平行 (a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1( ，, ，, Ｗ．)) 当b与三个坐标 x1x2＋y1y2＋z1z2 平行 (a∥b) 平面都不平行(即x2y2z2≠0)时， a∥b⇔ ＝ ＝ 垂直 (a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔ ＝0 eq \f(z1,z2) eq \f(x1,x2) eq \f(y1,y2) 模 |a|＝ eq \r(a·a)＝2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1)＋z eq \o\al(2,1)) 夹角 公式 cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝2,1) eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y eq \o\al(2,1)＋z eq \o\al(2,1))\r(x eq \o\al(2,2)＋y eq \o\al(2,2)＋z eq \o\al(2,2))) (a≠0，b≠0) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若空间向量 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).(　　) (2)若空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)共线，则 eq \f(a1,b1)＝ eq \f(a2,b2)＝ eq \f(a3,b3).(　　) (3)空间向量a＝(1，1，1)是一个单位向量．(　　) (4)若a，b为空间向量，则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－2) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 答案：AD 3．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量是(　　) A．(2，0，－4)　　　　　B．(3，6，－12) C．(1，1，－2) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1)) 答案：D 4．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________． 答案：1 题型一　空间向量的坐标运算 [例 1]　已知O是坐标原点，点A(2，0，－2)，B(3，1，2)，C(2，－1，7). (1)若点P满足 eq \o(OP,\s\up15(→))＝2 eq \o(AB,\s\up15(→))－3 eq \o(AC,\s\up15(→))，则点P的坐标为________； (2)若点P满足 eq \o(AP,\s\up15(→))＝2 eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(AC,\s\up15(→))，则点P的坐标为________． 解析： eq \o(AB,\s\up15(→))＝(1，1，4)， eq \o(AC,\s\up15(→))＝(0，－1，9). (1)因为 eq \o(OP,\s\up15(→))＝2 eq \o(AB,\s\up15(→))－3 eq \o(AC,\s\up15(→))＝2(1，1，4)－3(0，－1，9)＝(2，5，－19)， 所以点P的坐标为(2，5，－19). 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1，1，4)－(0，－1，9)＝(2，3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4，3，－3). 答案：(1)(2，5，－19)　(2)(4，3，－3) [反思感悟] 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．　 　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝ eq \o(AB,\s\up15(→))，q＝ eq \o(CD,\s\up15(→)). 求(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q). 解：因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＝(2，1，3)，q＝ eq \o(CD,\s\up15(→))＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6) ＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2 ＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26. 题型二　空间向量的平行与垂直的应用 [例 2]　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝ eq \o(AB,\s\up15(→))，b＝ eq \o(AC,\s\up15(→)). (1)设|c|＝3，c∥ eq \o(BC,\s\up15(→))，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)∵ eq \o(BC,\s\up15(→))＝(－2，－1，2)且c∥ eq \o(BC,\s\up15(→))， ∴设c＝λ eq \o(BC,\s\up15(→))＝(－2λ，－λ，2λ). ∴|c|＝ eq \r((－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2)＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1. ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). (2)∵a＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＝(1，1，0)，b＝ eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). ∵(ka＋b)⊥(ka－2b). ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－ eq \f(5,2). [反思感悟] 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行． (2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或 eq \f(x1,x2)＝ eq \f(y1,y2)＝ eq \f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．　 1．(变条件)将本例(2)中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量 eq \a\vs4\al(k)a＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解：a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴ka＋b＝(k－1，k，2)，a＋kb＝(1－k，1，2k). ∵ka＋a与a＋kb平行， ∴ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k). ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－1＝λ(1－k)，,k＝λ·1，,2＝λ·2k，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1.)) ∴k的值为±1. 2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝ eq \r(5)，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)由a∥b，得(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2). ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k(2m－1)，,2λ＝2k，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3.)) ∴实数λ＝ eq \f(1,5)，m＝3. (2)∵|a|＝ eq \r(5)，且a⊥c， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，,(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，)) 化简，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5λ2＋2λ＝3，,2－2λ2＝0，)) 解得λ＝－1.因此，a＝(0，1，－2). 题型三　空间向量的长度与夹角的计算 [例 3]　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝ eq \f(1,4)CD，H为G1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题． (1)求证EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 解：(1)证明　如图，建立空间直 角坐标系D­xyz，D为坐标原点，则有E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))， 则 eq \o(EF,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))， eq \o(B1C,\s\up15(→))＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)， ∴ eq \o(EF,\s\up15(→))· eq \o(B1C,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)×(－1)＋ eq \f(1,2)×0＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝0， ∴ eq \o(EF,\s\up15(→))⊥ eq \o(B1C,\s\up15(→))，即EF⊥B1C. (2)由(1)知 eq \o(C1G,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))－(0，1，1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))，∴| eq \o(C1G,\s\up15(→))|＝ eq \f(\r(17),4). 又 eq \o(EF,\s\up15(→))· eq \o(C1G,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)×0＋ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝ eq \f(3,8)，|EF|＝ eq \f(\r(3),2)， ∴cos 〈 eq \o(EF,\s\up15(→))， eq \o(C1G,\s\up15(→))〉＝ eq \f(\o(EF,\s\up15(→))·\o(C1G,\s\up15(→)),|\o(EF,\s\up15(→))|·|\o(C1G,\s\up15(→))|)＝ eq \f(\r(51),17). 从而可知异面直线EF与C1G所成角的余弦值为 eq \f(\r(51),17). (3)由(1)知F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，H eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))， ∴ eq \o(FH,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2))). ∴| eq \o(FH,\s\up15(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(41),8)，即FH的长为 eq \f(\r(41),8). [反思感悟] 运用向量坐标运算解决几何问题的方法 　 在长方体OABC­O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题： (1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值； (2)作O1D⊥AC于D，求O1到点D的距离． 解： 建立如图所示的空间直角坐标系． (1)由题意得A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0). ∴ eq \o(AO1,\s\up15(→))＝(－2，0，2)， eq \o(B1E,\s\up15(→))＝(－1，0，－2)， ∴cos 〈 eq \o(AO1,\s\up15(→))， eq \o(B1E,\s\up15(→))〉＝ eq \f(\o(AO,\s\up15(→))·\o(B1E,\s\up15(→)),|\o(AO1,\s\up15(→))||\o(B1E,\s\up15(→))|)＝ eq \f(－2,2\r(10))＝－ eq \f(\r(10),10). ∴直线AO1与B1E所成角的余弦值为 eq \f(\r(10),10). (2)由题意得 eq \o(O1D,\s\up15(→))⊥ eq \o(AC,\s\up15(→))， eq \o(AD,\s\up15(→))∥ eq \o(AC,\s\up15(→))， ∵C(0，3，0)，设D(x，y，0)， ∴ eq \o(O1D,\s\up15(→))＝(x，y，－2)， eq \o(AD,\s\up15(→))＝(x－2，y，0)， eq \o(AC,\s\up15(→))＝(－2，3，0)， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)．)) ∴D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0)). ∴O1D＝| eq \o(O1D,\s\up15(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))\s\up12(3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))\s\up12(2)＋4)＝ eq \f(2\r(286),13). [课堂小结] 1．把平面向量的坐标表示推广到空间向量的坐标表示，只是多了一个竖坐标． 2．注意空间向量平行与平面向量平行的坐标表示的不同． 3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围。 $$